第六节基与于基
定义2.6.1设(X,T)是一个拓扑空 间，B是T的一个子族.如果T中的 每一个元素（即拓扑空间X中的每一个 开集)是B中某些元素的并，即对于每 一个U∈T,存在B,cB使得 U=UB B∈B1 则称B是拓扑T的一个基，或称B是 拓扑空间X的一个基
B B 1 B B 1 U B = 定义2.6.1 设(X, T)是一个拓扑空 间，B 是 T 的一个子族．如果 T 中的 每一个元素(即拓扑空间 X 中的每一个 开集)是 B 中某些元素的并，即对于每 一个 U∈T ,存在 使得 则称 B 是拓扑T 的一个基，或称B 是 拓扑空间 X 的一个基． B B 1 B B 1 U B = 定义2.6.1 设(X, T)是一个拓扑空 间，B 是 T 的一个子族．如果 T 中的 每一个元素(即拓扑空间 X 中的每一个 开集)是 B 中某些元素的并，即对于每 一个 U∈T ,存在 使得 则称 B 是拓扑T 的一个基，或称B 是 拓扑空间 X 的一个基． B B 1 B B 1 U B = 定义2.6.1 设(X, T)是一个拓扑空 间，B 是 T 的一个子族．如果 T 中的 每一个元素(即拓扑空间 X 中的每一个 开集)是 B 中某些元素的并，即对于每 一个 U∈T ,存在 使得 则称 B 是拓扑T 的一个基，或称B 是 拓扑空间 X 的一个基． B B 1 B B 1 U B = 定义2.6.1 设(X, T)是一个拓扑空 间，B 是 T 的一个子族．如果 T 中的 每一个元素(即拓扑空间 X 中的每一个 开集)是 B 中某些元素的并，即对于每 一个 U∈T ,存在 使得 则称 B 是拓扑T 的一个基，或称B 是 拓扑空间 X 的一个基． B B 1 B B 1 U B = 定义2.6.1 设(X, T)是一个拓扑空 间，B 是 T 的一个子族．如果 T 中的 每一个元素(即拓扑空间 X 中的每一个 开集)是 B 中某些元素的并，即对于每 一个 U∈T ,存在 使得 则称 B 是拓扑T 的一个基，或称B 是 拓扑空间 X 的一个基． B B 1 B B 1 U B = 定义2.6.1 设(X, T)是一个拓扑空 间，B 是 T 的一个子族．如果 T 中的 每一个元素(即拓扑空间 X 中的每一个 开集)是 B 中某些元素的并，即对于每 一个 U∈T ,存在 使得 则称 B 是拓扑T 的一个基，或称B 是 拓扑空间 X 的一个基． B B 1 B B 1 U B = 定义2.6.1 设(X, T)是一个拓扑空 间，B 是 T 的一个子族．如果 T 中的 每一个元素(即拓扑空间 X 中的每一个 开集)是 B 中某些元素的并，即对于每 一个 U∈T ,存在 使得 则称 B 是拓扑T 的一个基，或称B 是 拓扑空间 X 的一个基． B B 1 B B 1 U B = 定义2.6.1 设(X, T)是一个拓扑空 间，B 是 T 的一个子族．如果 T 中的 每一个元素(即拓扑空间 X 中的每一个 开集)是 B 中某些元素的并，即对于每 一个 U∈T ,存在 使得 则称 B 是拓扑T 的一个基，或称B 是 拓扑空间 X 的一个基． B B 1 B B 1 U B = 定义2.6.1 设(X, T)是一个拓扑空 间，B 是 T 的一个子族．如果 T 中的 每一个元素(即拓扑空间 X 中的每一个 开集)是 B 中某些元素的并，即对于每 一个 U∈T ,存在 使得 则称 B 是拓扑T 的一个基，或称B 是 拓扑空间 X 的一个基．
定理2.6.1一个度量空间中的 所有球形邻域构成的集族是这个度 量空间作为拓扑空间时的一个基. 注：(1)实数空间R中所有的开区间 构成的集族是它的一个基。 (2)离散空间中所有单点集构成 的族是它的一个基
定理2.6.1 一个度量空间中的 所有球形邻域构成的集族是这个度 量空间作为拓扑空间时的一个基． 注:(1)实数空间 R 中所有的开区间 构成的集族是它的一个基. (2)离散空间中所有单点集构成 的族是它的一个基
问 题 ◆任何一个拓空间是否都存在基？ ◆拓扑空间的基是否夺一？
问 题 ◆任何一个拓扑空间是否都存在基？ ◆拓扑空间的基是否存一？
定理2.6.2 设B是拓扑空间 (X,T)的一个开集族，则B是拓扑 空间X的一个基当且仅当对于每一 个x∈X和x的每一个邻域U, 存在V∈B使得x∈VCU
Ux Vx B x x x V U 定 理2.6.2 设 B 是拓扑空间 (X，T)的一个开集族,则 B 是拓扑 空间 X 的一个基当且仅当对于每一 个 x∈X 和 x 的每一个邻域 ， 存在 使得 . Ux Vx B x x x V U 定 理2.6.2 设 B 是拓扑空间 (X，T)的一个开集族,则 B 是拓扑 空间 X 的一个基当且仅当对于每一 个 x∈X 和 x 的每一个邻域 ， 存在 使得 . Ux Vx B x x x V U 定 理2.6.2 设 B 是拓扑空间 (X，T)的一个开集族,则 B 是拓扑 空间 X 的一个基当且仅当对于每一 个 x∈X 和 x 的每一个邻域 ， 存在 使得 . Ux Vx B x x x V U 定理2.6.2 设 B 是拓扑空间 (X，T)的一个开集族,则 B 是拓扑 空间 X 的一个基当且仅当对于每一 个 x∈X 和 x 的每一个邻域 ， 存在 使得