§4.2连通性的某些简单应用
§4.2连通性的某些简单应用
实数空间R中区间 (-0,0),(a,0),[a,0),(-0,☑) (-o,a],(a,b),[a,b),(a,b] [a,b] 它们都是连通的
实数空间R中区间 ( , ) , ( , ) , [ , ) , ( , ) ( , ] , ( , ) , [ , ) , ( , ] [ , ] a a a a a b a b a b a b − − − 它们都是连通的. 实数空间R中区间 ( , ) , ( , ) , [ , ) , ( , ) ( , ] , ( , ) , [ , ) , ( , ] [ , ] a a a a a b a b a b a b − − − 它们都是连通的. 实数空间R中区间 ( , ) , ( , ) , [ , ) , ( , ) ( , ] , ( , ) , [ , ) , ( , ] [ , ] a a a a a b a b a b a b − − − 它们都是连通的
下面我们说明实数空间R中不 少于两个点的连通子集E是一个区间： 若E不是一个区间，则存在a,b∈E a<b使得[a,b]立E,从而存在a≤c<b 使得c￠E, A=(-00,c)E,B=(c,0o)E 从而A和B都是E的非空开集，且有 A)B=E,A⌒B=中因此E不连通
下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = , 下面我们说明实数空间 R 中不 少于两个点的连通子集 E 是一个区间. 若E 不是一个区间，则存在 使得 , 从而存在 使得 ， 令 从而 A 和 B 都是 E 的非空开集，且有 因此E不连通. a b E , a b [ , ] a b E a c b c E A c E B c E = − = ( , ) , ( , ) A B E A B = = ,
定理4.2.1设E是实数空间R的 一个子集.E是包含着不少于两个点 的一个连通子集当且仅当E是一 个区间
定理4.2.1 设E 是实数空间R 的 一个子集. E 是包含着不少于两个点 的一个连通子集当且仅当E 是 一 个区间
定理4.2.2设X是一个连通空间， f:X)R是一个连续映射，则f() 是R中的一个区间或一个点 从而若x,y∈X,则对于f(x)与fy) 之间的任何一个实数t,存在z∈X 使得f()=t
定理4.2.2 设X 是一个连通空间, 是一个连续映射, 则 f (X) 是R 中的一个区间或一个点. 从而若x , y∈ X ，则对于f (x)与f (y) 之间的任何一个实数 t ,存在 z ∈X 使得 f (z)=t . f X R : → 定理4.2.2 设X 是一个连通空间, 是一个连续映射, 则 f (X) 是R 中的一个区间或一个点. 从而若x , y∈ X ，则对于f (x)与f (y) 之间的任何一个实数 t ,存在 z ∈X 使得 f (z)=t . f X R : → 定理4.2.2 设X 是一个连通空间, 是一个连续映射, 则 f (X) 是R 中的一个区间或一个点. 从而若x , y∈ X ，则对于f (x)与f (y) 之间的任何一个实数 t ,存在 z ∈X 使得 f (z)=t . f X R : → 定理4.2.2 设X 是一个连通空间, 是一个连续映射, 则 f (X) 是R 中的一个区间或一个点. 从而若x , y∈ X ，则对于f (x)与f (y) 之间的任何一个实数 t ,存在 z ∈X 使得 f (z)=t . f X R : → 定理4.2.2 设X 是一个连通空间, 是一个连续映射, 则 f (X) 是R 中的一个区间或一个点. 从而若x , y∈ X ，则对于f (x)与f (y) 之间的任何一个实数 t ,存在 z ∈X 使得 f (z)=t . f X R : → 定理4.2.2 设X 是一个连通空间, 是一个连续映射, 则 f (X) 是R 中的一个区间或一个点. 从而若x , y∈ X ，则对于f (x)与f (y) 之间的任何一个实数 t ,存在 z ∈X 使得 f (z)=t . f X R : → 定理4.2.2 设X 是一个连通空间, 是一个连续映射, 则 f (X) 是R 中的一个区间或一个点. 从而若x , y∈ X ，则对于f (x)与f (y) 之间的任何一个实数 t ,存在 z ∈X 使得 f (z)=t . f X R : →