§2.3 邻域与邻域系
§2.3 邻域与邻域系
定义2.3.1 设(X,T)是一个拓 扑空间，x∈X.如果U是X的一个子 集，满足条件：存在一个开集V使 得x∈c乙J,则称U是点x的一 个邻域. 点x的所有邻域构成的x的子集 族称为点x的邻域系.记作U
定 义2.3.1 设 是一个拓 扑空间，x∈X．如果U 是X 的一个子 集，满足条件：存在一个开集V使 得 ，则称U 是点 x 的一 个邻域. 点 x 的所有邻域构成的X 的子集 族称为点 x 的邻域系．记作 ( , ) X T x V U U x 定 义2.3.1 设 是一个拓 扑空间，x∈X．如果U 是X 的一个子 集，满足条件：存在一个开集V使 得 ，则称U 是点 x 的一 个邻域. 点 x 的所有邻域构成的X 的子集 族称为点 x 的邻域系．记作 ( , ) X T x V U U x
注意：如果U是包含着点x的一个开 集，那么它一定是x的一个邻域，我 们称U是点x的一个开邻域. 例：设X=1,2,3},T={0,X,1}} 试写出点1和3的邻域系，并指出那些 是1和3的开邻域：
X X = = {1, 2,3}, { , ,{1}} T 注意：如 果U是包含着点x的一个开 集，那么它一定是x的一个邻域，我 们称U是点x的一个开邻域． 例：设 试写出点1和3的邻域系，并指出那些 是1和3的开邻域. X X = = {1, 2,3}, { , ,{1}} T 注意：如 果U是包含着点x的一个开 集，那么它一定是x的一个邻域，我 们称U是点x的一个开邻域． 例：设 试写出点1和3的邻域系，并指出那些 是1和3的开邻域. X X = = {1, 2,3}, { , ,{1}} T 注意：如 果U是包含着点x的一个开 集，那么它一定是x的一个邻域，我 们称U是点x的一个开邻域． 例：设 试写出点1和3的邻域系，并指出那些 是1和3的开邻域
解：U1={,{1,2},{1,3},X 点1的开邻域有1，X U3={X} 点3的开邻域有X
解： 点1的开邻域有{1}，X 点3的开邻域有X 1 U ={{1},{1, 2},{1,3}, } X 3 U ={ } X 解： 点1的开邻域有{1}，X 点3的开邻域有X 1 U ={{1},{1, 2},{1,3}, } X 3 U ={ } X 解： 点1的开邻域有{1}，X 点3的开邻域有X 1 U ={{1},{1, 2},{1,3}, } X 3 U ={ } X 解： 点1的开邻域有{1}，X 点3的开邻域有X 1 U ={{1},{1, 2},{1,3}, } X 3 U ={ } X
定理2.3.1 拓扑空间X的一个子 集U是开集的充要条件是U是它的每一 点的邻域 证明：必要性显然； 哭对屣意若缜二隽鄰域， 使得x∈U,II 故U是
定理2.3.1 拓扑空间X 的一个子 集U是开集的充要条件是U是它的每一 点的邻域. 证明：必要性显然； 充分性：若U是其每一点的邻域， U x Ux 则对任意x∈U,存在一个开集 使得 ，因此 故U是一个开集. { } x x U x U U x U U = Ux x x U U