§3.1子空J 间
§3.1 子 空 间
定义3.1.1设(X,p)是一个度量空 间，Y是X的一个子集. 因此，Y×YcX×X.显然 prxy:Y×Y→R是Y的一个度量 称Y的度量pxy是由X的度量P诱导 出来的度量.度量空间(Y,pxxy称为 度量空间(X,p)的一个度量子空间
( , ) X Y Y X X | : Y Y Y Y R →| Y Y ( , | ) Y Y Y ( , ) X 定义3.1.1 设 是一个度量空 间，Y 是 X 的一个子集． 因此， . 显然 是Y 的一个度量. 称 Y 的度量 是由 X 的度量 诱导 出来的度量．度量空间 称为 度量空间 的一个度量子空间． ( , ) X Y Y X X | : Y Y Y Y R →| Y Y ( , | ) Y Y Y ( , ) X 定义3.1.1 设 是一个度量空 间，Y 是 X 的一个子集． 因此， . 显然 是Y 的一个度量. 称 Y 的度量 是由 X 的度量 诱导 出来的度量．度量空间 称为 度量空间 的一个度量子空间． ( , ) X Y Y X X | : Y Y Y Y R →| Y Y ( , | ) Y Y Y ( , ) X 定义3.1.1 设 是一个度量空 间，Y 是 X 的一个子集． 因此， . 显然 是Y 的一个度量. 称 Y 的度量 是由 X 的度量 诱导 出来的度量．度量空间 称为 度量空间 的一个度量子空间．
注意 >我们说度量空间Y是度量空间X的 一个度量子空间，意思就是Y是X 的一个子集，并且Y的度量是 由X的度量诱导出来的. >常将度量空间的任何一个非空子集 自动看作一个度量子空间
注 意 ➢我们说度量空间 Y 是度量空间 X的 一个度量子空间，意思就是 Y 是 X 的一个子集 ， 并 且 Y 的度量是 由 X 的度量诱导出来的． ➢常将度量空间的任何一个非空子集 自动看作一个度量子空间
常见度量子空间 (1)(a,b),[a,b],(a,b] n+1 (2)S”={x=(x,x2,…,xn+)eR"|∑x2=1} i=1 (3)D={x=(x,x2,,x,)eR"2x<l -1 (4)E={x=(,x2,,xn)eR"|∑x≤1 i=l (5)(0,1)”,[0,1]
( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = = = 2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = = 2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = = (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5) ( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = = = 2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = = 2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = = (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5) ( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = = = 2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = = 2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = = (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5) ( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = = = 2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = = 2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = = (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5) ( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = = = 2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = = 2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = = (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5) ( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = = = 2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = = 2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = = (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5)
定理3.1.1设Y是度量空间X的 一个度量子空间.则Y的子集U是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X的 开集V使得U=/OY
定理3.1.1 设Y 是度量空间 X 的 一个度量子空间．则 Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 的 开集 V 使得 U V Y = . 定理3.1.1 设Y 是度量空间 X 的 一个度量子空间．则 Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 的 开集 V 使得 U V Y = . 定理3.1.1 设Y 是度量空间 X 的 一个度量子空间．则 Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 的 开集 V 使得 U V Y = . 定理3.1.1 设Y 是度量空间 X 的 一个度量子空间．则 Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 的 开集 V 使得 U V Y = . 定理3.1.1 设Y 是度量空间 X 的 一个度量子空间．则 Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 的 开集 V 使得 U V Y =