聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 子空间、积空间、商空间 §3.1 子空间

§3.1子空J 间

§3.1 子 空 间

定义3.1.1设(X,p)是一个度量空 间，Y是X的一个子集. 因此，Y×YcX×X.显然 prxy:Y×Y→R是Y的一个度量 称Y的度量pxy是由X的度量P诱导 出来的度量.度量空间(Y,pxxy称为 度量空间(X,p)的一个度量子空间

( , ) X  Y Y X X    | :  Y Y Y Y R  →|  Y Y  ( , | ) Y  Y Y ( , ) X  定义3.1.1 设 是一个度量空 间，Y 是 X 的一个子集． 因此， . 显然 是Y 的一个度量. 称 Y 的度量 是由 X 的度量 诱导 出来的度量．度量空间 称为 度量空间 的一个度量子空间． ( , ) X  Y Y X X    | :  Y Y Y Y R  →|  Y Y  ( , | ) Y  Y Y ( , ) X  定义3.1.1 设 是一个度量空 间，Y 是 X 的一个子集． 因此， . 显然 是Y 的一个度量. 称 Y 的度量 是由 X 的度量 诱导 出来的度量．度量空间 称为 度量空间 的一个度量子空间． ( , ) X  Y Y X X    | :  Y Y Y Y R  →|  Y Y  ( , | ) Y  Y Y ( , ) X  定义3.1.1 设 是一个度量空 间，Y 是 X 的一个子集． 因此， . 显然 是Y 的一个度量. 称 Y 的度量 是由 X 的度量 诱导 出来的度量．度量空间 称为 度量空间 的一个度量子空间．

注意 >我们说度量空间Y是度量空间X的 一个度量子空间，意思就是Y是X 的一个子集，并且Y的度量是 由X的度量诱导出来的. >常将度量空间的任何一个非空子集 自动看作一个度量子空间

注 意 ➢我们说度量空间 Y 是度量空间 X的 一个度量子空间，意思就是 Y 是 X 的一个子集 ， 并 且 Y 的度量是 由 X 的度量诱导出来的． ➢常将度量空间的任何一个非空子集 自动看作一个度量子空间

常见度量子空间 (1)(a,b),[a,b],(a,b] n+1 (2)S”={x=(x,x2,…,xn+)eR"|∑x2=1} i=1 (3)D={x=(x,x2,,x,)eR"2x<l -1 (4)E={x=(,x2,,xn)eR"|∑x≤1 i=l (5)(0,1)”,[0,1]

( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = =  =  2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = =    2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = =    (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5) ( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = =  =  2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = =    2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = =    (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5) ( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = =  =  2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = =    2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = =    (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5) ( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = =  =  2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = =    2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = =    (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5) ( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = =  =  2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = =    2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = =    (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5) ( , ),[ , ], ( , ] a b a b a b 1 1 2 1 2 1 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i S x x x x R x + + + = = =  =  2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i D x x x x R x = = =    2 1 2 1 { ( , , , ) | 1} n n n n i i E x x x x R x = = =    (0,1) ,[0,1] n n 常见度量子空间 (1) (2) (3) (4) (5)

定理3.1.1设Y是度量空间X的 一个度量子空间.则Y的子集U是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X的 开集V使得U=/OY

定理3.1.1 设Y 是度量空间 X 的 一个度量子空间．则 Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 的 开集 V 使得 U V Y =  . 定理3.1.1 设Y 是度量空间 X 的 一个度量子空间．则 Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 的 开集 V 使得 U V Y =  . 定理3.1.1 设Y 是度量空间 X 的 一个度量子空间．则 Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 的 开集 V 使得 U V Y =  . 定理3.1.1 设Y 是度量空间 X 的 一个度量子空间．则 Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 的 开集 V 使得 U V Y =  . 定理3.1.1 设Y 是度量空间 X 的 一个度量子空间．则 Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 的 开集 V 使得 U V Y = 