第大章分离性公理 §6.1To,Ti,Hausdorff?间 §6.4完全正则空间，T空间 §6.2正则，正规，T3,T4空间 §6.5分离性公理与子空间 §6.3引理和T-扩张定理 §6.6可度量化空间
§6.1 T0 ,T1 ,Hausdorff空间 §6.2 正则,正规,T3 ,T4空间 §6.3 U-引理和T-扩张定理 §6.4 完全正则空间,T-空间 §6.5 分离性公理与子空间 §6.6 可度量化空间
§6.1To,T,Hausdorff:空间 定义6.1.1X是一个拓扑 空间，如果对于X中任意两个不 同的点中必有一个点有一个开 邻域不包含另一点，则称拓扑空 间X是一个To空间
§6.1 T0 ,T1 ,Hausdorff空间 定义 6.1.1 X 是一个拓扑 空间, 如果对于X中任意两个不 同的点中必有一个点有一个开 邻域不包含另 一点,则称拓扑空 间X 是一个T0空间
U 文 y 少廷乙I To 空 间
U x y V T0 空 间 y U
定理6.1.1拓扑空间X 是一个T,空间当且仅当X中 任意两个不同的单点集有不 同的闭包 即若≠y,则 x≠y
定理6.1.1 拓扑空间X 是一个T0空间当且仅当X中 任意两个不同的单点集有不 同的闭包. 即若x≠y,则 { } { } x y
证明：充分性「 因为对于任意的 x,y∈X,有 x≠y网 从而必有： {x}-{y≠ or {y-{x}≠p 若 {x}-{y以≠中， 必有x{以 ,故 x∈x-；同理可证当-女 时，y∈X-{x,因此X是一个T空间
证明：充分性 因为对于任意的 x,y∈X，有 ，从而必有: or . 若 ，必有 ,故 ；同理可证当 时， ,因此X是一个T0空间. { } { } x y { } { } x y − { } { } y x − { } { } x y − x y { } x X y −{ } { } { } y x − y X x −{ }