聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 子空间、积空间、商空间 §3.2（有限）积空间

§3.2（有限）积空间 CNIMG.NET

§3.2(有限)积空间

定义3.2.1设(X1,P),,(Xm,Pn) 是n≥1个度量空间.令X=X,×…×X 定义p:X×X→R满足 对任意x=(x1,…,xn),y=(1,…,yn)∈X n-fe 容易验证P是X的一个度量.称P为X的 积度量；(X,p)称为n个度量空间的度量 积空间

1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间. 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 X X X =   1 n  : X X R  →1 1 ( , , ) , ( , , ) n n x x x y y y X = =  2 1 ( , ) ( , ) n i i i i   x y x y = =    ( , ) X  定义3.2.1 设 是 个度量空间. 令 定义 满足 对任意 容易验证 是X 的一个度量. 称 为X 的 积度量； 称为 n 个度量空间的度量 积空间

注：n维欧氏空间R"就是n个实数空 间R的度量积空间. 定理3.2.1设(X1,P),…,(Xn,pn)是n≥1 度量空间，(X,P)是它们的积空间. 又设T,和T分别是由度量P,和P诱导 出来的X,和X的拓扑，其中i=l,…,n 则X的子集族B={U×…×UU,∈T} 是X的拓扑T的一个基

注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i 注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i 注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i 注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i 注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i 注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i 注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i 注：n 维欧氏空间 就是 n 个实数空 间 R 的度量积空间. 定理3.2.1 设 是 度量空间， 是它们的积空间. 又设 和 T 分别是由度量 和 诱导 出来的 和 X 的拓扑，其中 则 X 的子集族 是X 的拓扑T 的一个基. n R 1 1 ( , ), , ( , ) X X   n n n 1 ( , ) X  Ti i  Xi i n =1, , B= { | T } U U U 1    n i i

定理3.2.2设(X1,T1),…,(Xm,Tn) 是n≥1个拓扑空间.则X=X×…×Xm 有唯一的一个拓扑T以X的子集族 B={U1×…×UlU,∈T;,i=1,2,, 为它的一个基 证明：(1)由于X=X××Xn∈B 所以UReB B=X; (2)若U,×…×Um,y×…×'n∈B

定理3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 有唯一的一个拓扑 T 以 X 的子集族 为它的一个基. 证明: (1) 由于 所以 ； (2) 若 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n 1 B= { | T } , 1, 2, , U U U i n    = n i i X X X =    1 n B BB B X = 1 1 B , U U V V      n n 定理3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 有唯一的一个拓扑 T 以 X 的子集族 为它的一个基. 证明: (1) 由于 所以 ； (2) 若 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n 1 B= { | T } , 1, 2, , U U U i n    = n i i X X X =    1 n B BB B X = 1 1 B , U U V V      n n 定理3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 有唯一的一个拓扑 T 以 X 的子集族 为它的一个基. 证明: (1) 由于 所以 ； (2) 若 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n 1 B= { | T } , 1, 2, , U U U i n    = n i i X X X =    1 n B BB B X = 1 1 B , U U V V      n n 定理3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 有唯一的一个拓扑 T 以 X 的子集族 为它的一个基. 证明: (1) 由于 所以 ； (2) 若 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n 1 B= { | T } , 1, 2, , U U U i n    = n i i X X X =    1 n B BB B X = 1 1 B , U U V V      n n 定理3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 有唯一的一个拓扑 T 以 X 的子集族 为它的一个基. 证明: (1) 由于 所以 ； (2) 若 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n 1 B= { | T } , 1, 2, , U U U i n    = n i i X X X =    1 n B BB B X = 1 1 B , U U V V      n n

则 (U1×..×Un)∩(××V2） =(U,∩)×…×(Un∩'W∈B 由th2.6.3知结论成立. 定义3.2.2设(X1,T1),…,(Xm,Tn) 是n≥1个拓扑空间.则X=X1××X, 的以子集族B={U××UU∈T,) 为基的唯一的那个拓扑T,称为 T,T2…,T,的积拓扑

则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n 则 由th2.6.3 知结论成立. 定义3.2.2 设 是 个拓扑空间. 则 的以子集族 为基的唯一的那个拓扑 T ，称为 的积拓扑. 1 1 1 1) = B n n n n U U V V U V U V           （ ）（ ） （ （ ） 1 1 ( , ), , ( , ) X X T T n n n 1 X X X =   1 n B= { | T } U U U 1    n i i 1 2 T T T , , n