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§3.3 商 空 间
定义3.1.1设(X,T)是一个拓扑空 间，Y是一个集合，∫：X→Y是一个 满射.则Y的子集族 T,=UcY|f(U)∈T} 是的一个拓扑.称T,为Y的（相对 于满射f而言的)商拓扑
定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − = T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − = T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − = T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − = T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − = T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − = T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − = T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − = T1 定义3.1.1 设 是一个拓扑空 间，Y 是一个集合， 是一个 满射. 则Y 的子集族 是Y的一个拓扑. 称 为 Y 的（相对 于满射 f 而言的）商拓扑. ( , ) X T f X Y : → 1 1 T T { | ( ) } U Y f U − = T1
例f:X→Y是一个满射，其中X是 一个拓扑空间，X={L,2,3,4,X的拓 扑T={,X,{1,{2,3,4h,集合Y={a,b,c} 123 试写Y的商拓扑.T,={φ，Y)
例 是一个满射, 其中 是 一个拓扑空间， , 的拓 扑 ,集合 试写Y的商拓扑. f X Y : → X ={1,2,3,4} X T= { } , ,{1},{2,3,4} X X Y a b c ={ , , } 1 2 3 4 a b c 1 T ={ , } X 例 是一个满射, 其中 是 一个拓扑空间， , 的拓 扑 ,集合 试写Y的商拓扑. f X Y : → X ={1,2,3,4} X T= { } , ,{1},{2,3,4} X X Y a b c ={ , , } 1 2 3 4 a b c 1 T ={ , } X 例 是一个满射, 其中 是 一个拓扑空间， , 的拓 扑 ,集合 试写Y的商拓扑. f X Y : → X ={1,2,3,4} X T= { } , ,{1},{2,3,4} X X Y a b c ={ , , } 1 2 3 4 a b c 1 TT1 =={ , } { , } YX 例 是一个满射, 其中 是 一个拓扑空间， , 的拓 扑 ,集合 试写Y的商拓扑
定理3.3.1设(X,T是一个拓扑空 间，Y是一个集合，∫：X→Y是一个满 射.则 ()如果T1是Y的商拓扑，则f:X→Y 是一个连续映射. (2)如果T是Y的一个拓扑，使得对于 这个拓扑T,而言映射f是连续 的，则TcT1
定理3.3.1 设 是一个拓扑空 间, Y 是一个集合， 是一个满 射. 则 (1) 如果 是Y 的商拓扑,则 是一个连续映射. (2) 如果 是Y 的一个拓扑，使得对于 这个拓扑 而言映射 f 是连续 的，则 . ( , ) X T f X Y : → f X Y : → T1 T1 T1 T T 1 1 定理3.3.1 设 是一个拓扑空 间, Y 是一个集合， 是一个满 射. 则 (1) 如果 是Y 的商拓扑,则 是一个连续映射. (2) 如果 是Y 的一个拓扑，使得对于 这个拓扑 而言映射 f 是连续 的，则 . ( , ) X T f X Y : → f X Y : → T1 T1 T1 T T 1 1 定理3.3.1 设 是一个拓扑空 间, Y 是一个集合， 是一个满 射. 则 (1) 如果 是Y 的商拓扑,则 是一个连续映射. (2) 如果 是Y 的一个拓扑，使得对于 这个拓扑 而言映射 f 是连续 的，则 . ( , ) X T f X Y : → f X Y : → T1 T1 T1 T T 1 1
证明：(1)显然； (2)若U∈T,,由于f对于Y的拓扑 T,而言映射f连续， 从而f(U)∈T 因此U∈T1,即T1cT
证明：(1) 显然; (2) 若 , 由于 f 对于 Y 的拓扑 而言映射 f 连续， 从而 因此 , 即 . U T1 T1 1 f U( ) T − U T1 T T 1 1 证明：(1) 显然; (2) 若 , 由于 f 对于 Y 的拓扑 而言映射 f 连续， 从而 因此 , 即 . U T1 T1 1 f U( ) T − U T1 T T 1 1 证明：(1) 显然; (2) 若 , 由于 f 对于 Y 的拓扑 而言映射 f 连续， 从而 因此 , 即 . U T1 T1 1 f U( ) T − U T1 T T 1 1 证明：(1) 显然; (2) 若 , 由于 f 对于 Y 的拓扑 而言映射 f 连续， 从而 因此 , 即 . U T1 T1 1 f U( ) T − U T1 T T 1 1 证明：(1) 显然; (2) 若 , 由于 f 对于 Y 的拓扑 而言映射 f 连续， 从而 因此 , 即 . U T1 T1 1 f U( ) T − U T1 T T 1 1 证明：(1) 显然; (2) 若 , 由于 f 对于 Y 的拓扑 而言映射 f 连续， 从而 因此 , 即 . U T1 T1 1 f U( ) T − U T1 T T 1 1