拓扑空间与连续映射 1
1 拓扑空间与连续映射
§2.1度量空间与连续映射 定义2.1.1设X是一个集合， p:X×X→R如果对于任何xy,z∈X 有 (1)p(x,y)≥0， 并且p(x,y)=0当且仅且x=y; 2
2 §2.1 度量空间与连续映射 定义2.1.1 设 X 是一个集合， 如果对于任何 x,y,z∈X, 有 : . X X R → 并且 ( , ) 0当且仅且 ; (1) ( , ) 0, x y x y x y = =
(2)p(x,y)=p(y,x) (3)p(x,z)<p(x,y)+p(y,z) 则称P是集合X的一个度量 称(X,P)是一个度量空间.在不至引 起混淆的前提下，迳称X是一个度量 空间；p(x,y)称为点x到y的距离. 3
3 (2) ρ( x,y ) = ρ ( y , x ) (3) ρ( x,z ) ρ( x, y ) + ( y, z) 则称 是集合 X 的一个度量. ( , ) X ( , ) x y 称 是一个度量空间. 在不至引 起混淆的前提下，迳称 X 是一个度量 空间； 称为点 x 到 y 的距离
常见度量空间 >实数空间R 设p:R×R→R,对于任意x,y∈R, 令p(x,y)r-yl,容易验证p是R的 一个度量 (R,p)称为实数空间或直线这 个度量称为R的通常度量，并且常常 迳称R为实数空间
4 : R R R → ( , ) | | x y x y = − ➢实数空间 R 设 ,对于任意x,y∈R, 令 ,容易验证 是 R 的 一个度量. 常见度量空间 : R R R → ( , ) | | x y x y = − ➢实数空间 R 设 ,对于任意x,y∈R, 令 ,容易验证 是 R 的 一个度量. : R R R → ( , ) | | x y x y = − ➢实数空间 R 设 ,对于任意x,y∈R, 令 ,容易验证 是 R 的 一个度量. 称为实数空间或直线.这 个度量称为 R 的通常度量，并且常常 迳称 R 为实数空间． ( , ) R
常见度量空间 >n重笛卡儿积Rn 定义p:R”×R”→R 条为楼缘资，别 为n维既穷间，宽定的度量P 称为Rn的通常度量，n=2时，称为 欧氏平面或平面： 5
5 能够验证 为 Rn的度量，称 为 n 维欧氏空间，这里定义的度量 称为 Rn 的通常度量，n = 2 时，称为 欧氏平面或平面. ( , ) n R 常见度量空间 : n n R R R → 1 2 ( , , , ) n x x x x = 1 2 ( , , , ) n x y y y = 2 1 ( , ) ( ) n i i i x y x y = = − ➢ n 重笛卡儿积 Rn 定义 对任意 ， 令 : n n R R R → 1 2 ( , , , ) n x x x x = 1 2 ( , , , ) n x y y y = 2 1 ( , ) ( ) n i i i x y x y = = − ➢ n 重笛卡儿积 Rn 定义 对任意 ， 令 : n n R R R → 1 2 ( , , , ) n x x x x = 1 2 ( , , , ) n x y y y = 2 1 ( , ) ( ) n i i i x y x y = = − ➢ n 重笛卡儿积 Rn 定义 对任意 ， 令