省领精品课程—材料力学 第九章弯曲变形 §9.1基本概念 工程中的某些梁，即使有足够的强度，若变形过大，也会影响正常的工作。例如，桥梁 的变形过大，机车通过时将会引起很大的振动：楼板梁的变形过大，会使下面的灰层开裂、 脱落。因此，对梁的变形有时需要予以限制，使它不超过容许值，这就是所谓刚度计算。 与上面的情况相反，有时候还要利用梁的变形。例如，车辆上的叠板弹簧，就是利用它 的较大变形而起到缓冲减振作用的。 此外，弯曲变形的计算，还可应用于求解超静定结构、振动计算等问题。 在计算弯曲变形之前，先说明如何表示弯曲变形。这里，我们仍只研究平面弯曲时梁的 变形。梁弯曲后的轴线称为挠曲线，它是一条光滑连续的平面曲线。图91所示为悬臂梁 变形前的轴线AB是一条直线，AB1就是变形后的挠曲线。为了描写挠曲线，应建立 一个坐标系。通常取梁变形前的轴线为x轴，与它垂直且在挠曲线所在平面内的轴为y轴， 则梁的挠曲线可用函数y=x) (a) 来表示，并称为挠由线方程 图9-1 梁在变形时，轴线上的点将产生线位移。由于工程中梁的变形一般很小，挠曲线为一平 坦的曲线，因而上述线位移沿变形前轴线方向的分量远小于其垂直方向的分量，可以忽略 计。也就是说，可以认为梁轴线上的点的线位移垂直于梁变形前的轴线，这个线位移称为该 点的挠度。例如图9-1中，变形前轴线上的C点在变形后移到C1点，线位移C就是C点 的挠度，线段CC1与AB垂直。在坐标系y中，线段cG,也就是坐标c,轴线上任意点x 的挠度完全可以用函数(a)来表示。因此，挠曲线方程也就是挠度方程。 由平面假定知，梁的横截面在变形后仍为平面，它绕中性轴转动，且垂直于变形后的轴 线即挠曲线。也就是，梁在变形时，除了横截面形心有线位移外，横截面还有角位移，这个 角位移称为横截面的转角。例如图91中，日c就是C截面的转角。由图91还可以看到， 任意截面x的转角等于挠曲线在同一x处切线的倾角，而此倾角的正切有以下关系： 因为挠曲线为一平坦曲线，值很小，故有 g0≈0 于是横截面的转角为日=少 6 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程 一材料力学 (b)式表示了横藏面位置x与该搬面转角9之关系，称为转角方程。 在图91的坐标系中，挠度y以向下为正，向上为负：转角9以顺时针转向为正，逆时 针转向为负。 挠度和转角这两种位移都能反映染的弯曲变形的大小，是描写弯曲变形的两种量 §9-2挠曲线近似微分方程及其积分 一、挠曲线近以微分方程 在平面弯时，其轴线由直线变为平面曲线，其曲。与梁的抗弯刚度及弯矩 M的关系已在上一章中求得，即(8-1)式： (a) 该式是在纯弯曲情况下得到的.在横力弯曲情况下，梁的剪力会使梁产生附加的弯曲变 形。但工程中的梁，其跨度通常远大于截面的高度，根据较精确的分析，这时候由剪力产生 的附加弯曲变形的影响很小，可以忽略不计。因此，仍可将()式应用于横力弯曲，但此 时弯矩M和曲率半径p都是x的函数，即 b 由微分学知，平面曲线任一点的曲率为 而+e 由于能线起平理的主统贵元本干，于是(@大分母中的安项可以修去，将简化 后的(e)式代入b)式，得到士=M (9-1)） El. (91)式就是梁的挠曲线的近似微分方程式。这里称为近似，是因为在计算中略去了剪力 对变形的影响，并在（©）式中略去了使}项 在(91)式中，Ez总是正的， 安和M消正负之介，在所采用的坐标系中，y的 正方向向下，x的正方向向右，这时正的y”如图9-2(a)所示，负的y”如图9-2(b)所 示。而弯矩的正负是由变形来规定的，即图92(a)的弯曲变形对应若负的M,图92(b) 的弯曲变形对应着正的M。总之， 由图92看到，根据M的符号规则及所采用坐标系的情 况下，M与的符号相反，这里(91)式中应选负号，即 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程—材料力学 (9-2) (B) 图9-2 二、用积分法求梁的位移 对挠曲线近似微分方程(9-2)进行积分，积分一次得转角方程，积分两次得挠度方程， 这个方法称为积分法。 对等截面梁来说，为常量，为简单起见，将(92)式写成 a杂- 积分一次得转角方程 日来a0=-小Mos+C (9-3) 再积分一次得挠度方程 EI.y=-I[M(x)dkh+Cx+D (9-4 式中的积分常数C和D可由梁的己知位移条件来确定，这种己知条件称为梁的边界条 件。 例91求图示悬臂梁的最大挠度和最大转角，已知梁的抗弯刚度EL, 例91图 解：首先写弯矩方程 MGx)= (0≤x1) (a) 由此建立挠曲线微分方程 174 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程 材料力学 a罗 第二步，积分 a杂号c y-牙+G+D 第三步，确定积分常数。悬臂梁的边界条件是固定端截面的转角及截面形心的挠度都等 于零，对于该梁即有 x=1时.日=0 (e) 1时，0 将(c)代入(c以(d得 C=- D (f 第四步，写转角方程和挠度方程。将(D代入(c以(d式，得到 a来日p兴号 还可改写成 0品-D y2-4+ 第五步，求最大转角和最大挠度。有了转角方程(g)和挠度方程()，则可求得任意 截面处的转角和挠度，以及最大转角和挠度。由梁的M图可看到，整个梁的弯矩为负值而 没有正值，因而整个梁弯曲变形后为凸形。挠曲线的大致形状如图中虚线所示。当没有反弯 点时，悬臂梁的最大转角和最大挠度发生在自由端。在(g)和(h)式中，令x=0得 (1) 这里()式中的负号说明A截面为逆时针转动，G)式中的正号说明A点的线位移是 向下的 例9-2 简支梁受集中力P作用，试分析其弯曲变形。己知染的抗弯刚度E引为常数。 175 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程—材料力学 题9-2图 解：本例题与例9-1的区别是，本例题要分段写弯矩方程，因此要分段列挠曲线的近似 微分方程，分段积分。结果如下： AC段 CB段a≤x,s/ M-PCr.-a) (o) ) B=+-o p) c a=2C回 2 El= +Cx+D Ely:= 16 C+n 6 在计算CB段时，对含有(x,一a)的项积分时，就以(x,一a)为自变量，这样确定 积分常数的运算可以简化 积分常数有C1、D1、C2、D2四个，需要四个条件来确定，简支梁的边界条件有两个， 即较心A和B的挠度都等于零： x=0,y=0 x2=0,5=0 s 此外，因为挠曲线是一条光滑连续的曲线，不应有图9-3和b所表示的不连续和不光滑的 、 图9.3 情况。虽然的转角和挠度都分别用两个方程表示，但在AC和CB两段的交点C处，转角 和挠度有唯一确定的值。这个条件称为连续性条件。具体地可表示为： x=x2=a,片=2 (D = 将连续性条件()代入m、、(、)试，得到 C=C,D=D. (@) 耳运用边界条件(s),得到 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)