省级精品课程一材料力学 第六章截面的几何性质 在学习了轴向拉（压）、剪切和扭转等杆的基本变形形式后，下面将学习弯曲变形。前 面已看到，对杆的每一种基本形式，我们要研究应力（强度）和变形（刚度）问题。而这些 问题中，又离不开要分析截面的内力和几何性质。由于弯曲问题的内容较多，从这一章开始 至第九章，我们将弯曲问题分为几何性质、内力、应力和变形四个部分来讨论。 另一方面，到弯曲变形为止，我们将光成杆的基本变形的学习。因此，从这一章至第九 章的学习中，我们还要穿插进基本变形的有关内容的总结， §6.1形心和面积矩 杆的截面就是一个平面图形。平面图形的几何中心称为该图形的形心。例如圆心就是圆 的形心，形心是一个纯几何量。但是，若将平面图形看作是厚度可无限小的均南薄板，则该 薄板的重心就是图形的形心 平面图形（截面）对坐标轴y和z的面积矩分别由下列两个积分来定义（图6-1） 图6-1 S,=∫d4 6) S,=∫d 若将微面积dA看作是微小力6A,将整个截面积A看作是合力pA,这里6为板厚 而P为材料的容重，则由合力矩定理可得到形心坐标与面积矩的关系： ∫2dA=2.A 6-2) ∫dA=yA 当截面面积A已知时，利用(6-2)式可解决两类问题：第一，已知形心坐标z:和y。,求面积 矩S,和S:第二，己知面积矩S,和S,求形心坐标， This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程—材料力学 :.-S. A 例6-1求矩形对y、z轴的面积矩（图6-2）。 y dy 图62 解：根据面积矩的定义(6-1)式，有 8=小能空 S.=[dA=心2yhd=0 又因为矩形的形心位置©已知，故本题的另一个解法是 8=4专的空 S:=yA=0.bh=0 例6-2求半圆形对y轴的面积矩（图6-3） 图6-3 解：由定义(6-1)式， s,=fd=2 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程 一材料力学 12 讨论：利用本题结果，可进一步求出半圆的形心位置。由于图形对称，形心c在乙轴上。 例6-3求图6-4所示对称T形截面的形心位置。 200 30 200 -30 图6-4 解：工程上一些复杂的截面图形，常可看作是由几个简单图形组合而成。将一个复杂图 形分解为几个简单图形可避免像(61)那样的积分运算而用求和来代替。 第一步，将T形分解为两个矩形。 第二步，利用简单图形的形心位置己知，求面积矩。取参考坐标如图64。 S,=200×30×100+200×30×215=1.89×10°mm3 面积矩的量纲是长度的三次方。同一个截面对不同轴的面积矩是不同的，其值可能为正 可能为负，也可能为零。由(6-2)式可看到，若某轴通过图形之形心，则图形对该轴之面积矩 为零：反之，若图形对某轴的面积矩为零，则该轴一定通过图形之形心。这是一条很有用的 性质。 §6.2惯性矩、惯性积、极惯性矩和形心主惯性矩 一.惯性矩、惯性积和极惯性矩 参看图6-1，一个平面图形对y轴的惯性矩是 1,=∫z2dA (6-3) 平面图形对y轴的惯性矩是 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程一材料力学 1,=∫y'da (6-4) 平面图形对一对坐标轴y八、z的惯性积是 I.=∫zdM (6-5) 平面图形对坐标原点0的极惯性矩是 1。=pdM (6-) 例6-4计算矩形对z轴的惯性矩l2,对y、z轴的惯性积，图6-5a) 图6-5 解：由定义6-4)式， 1==产侣 6-7) 由于y为对称轴，因此，当在(y,z)处取一微面积A时，在对称点(y,一z)处也可 取一微面积dA因而必有 Iv=[yzd4=0 讨论：若安置坐标轴y2(图6-5b,类似地可得到 1-i4=r-空 1=0 例65计算图6-6中三角形对y轴之惯性矩1 图6-6 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程——材料力学 解：由定义(6-3)式， 1,a4:eh-k纸 (6-8 例6-6计算圆形对通过圆心轴的惯性矩1，和1以图6-7). 图6-7 解：因为任何一个过圆心的轴都是圆的对称轴，所以1,1。根据极惯性矩之定义(66) 式，有 1。=∫pdA=∫02+zHa =1+1, 利用第五章所得到的圆形的极惯性矩(5-10)式， 32 于是 1=, (6-9) 同一截面对不同坐标轴的惯性矩或惯性积不同。惯性矩和惯性积的量纲为长度的四次 方。惯性矩、极惯性矩恒等正值。惯性积的值可能为正，可能为负，也可能为零。 二.形心主惯性轴和形心主惯性矩 通过某一点，可以作很多坐标系，图形对这些坐标系的惯性积可能为正，可能为负，也 可能为零。若图形对于某一对坐标轴的惯性积为罗，这一对轴就称为主惯性轴，简称主轴。 例如图65b中，过0，点可以作很多对坐标轴，而y☑轴就是主惯性轴。 如果主惯性轴的坐标原点是截面形心，这时的坐标轴就称为形心主惯性轴 ,简称形心 轴。例如图6-5a中，yz轴是主惯性轴，主原点0与矩形的形心，因此z轴是形心主惯性轴。 图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。 根据前面的分析，对于至少有一个对称轴的图形，若将该对称轴作为一个坐标轴，将形 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)