第三章静磁场 1试用A=A表一个沿Z方向的均匀恒定磁场B,,写出A的两种不同表示式，证明二者之差 是无旋场。 解：令 4- 2 Bo xey 则 VxA=Boe. 令 7=停e是)+学+号) 则 VxA=Boe. 而 有-=吧-吧 2 4_=0 V×(d-A0=22 即二者之差是无旋场 2均匀无穷长直圆柱螺线管，每单位长度线圈匝数为，电流强度为I,试用唯一性定理球管 内外磁感应强度 解： V×i=0 7.i=0 r=处 e,×(i2-i) =nle。 eu(2) =0 r=0 丑，有限 r→00 i2=0 nle.(r<) H. =0r>) 此解显然满足上述防城和边界条件，根据唯一性定理他是本问题唯一正确的解由此得 B=unle(r<ro) B2=0r>) 3设有无穷长的线电流沿Z轴流动。以Z<0空间充满磁导率为u的均匀介质。Z>0区域为真空 试用唯一性定理求磁感应强度B,然后求出磁化电流分布
第三章 静磁场 1 试用 A = A 表一个沿 方向的均匀恒定磁场 B0 ，写出 A 的两种不同表示式，证明二者之差 是无旋场。 解：令 0 0 2 2 x y B B A ye xe = − 则 = A B e0 z 令 ' 0 0 ( ) ( ) 2 2 2 2 x y x y B B u u A ye xe ye xe = − + ＋ 则 ' = A B e0 z 而 ' 2 2 x y u u A A ye xe − = − ' ( ) 2 2 u u − = − = A A o 即二者之差是无旋场 2 均匀无穷长直圆柱螺线管，每单位长度线圈匝数为 n，电流强度为 I，试用唯一性定理球管 内外磁感应强度 解： 2 1 0 2 1 1 2 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 r r H H e H H nIe r r e u H H r H r H = = − = = • − = = → = 处 有限 1 0 2 0 ( ) 0( ) H nIe r r z H r r = = 此解显然满足上述防城和边界条件，根据唯一性定理他是本问题唯一正确的解由此得 1 0 2 0 ( ) 0( ) B unIe r r z B r r = = 3 设有无穷长的线电流沿 Z 轴流动。以 Z<0 空间充满磁导率为 u 的均匀介质。Z>0 区域为真空 试用唯一性定理求磁感应强度 B ，然后求出磁化电流分布
解：空间磁场均匀分布满足 ∮Hdl=1∮Bas=0 和边值关系 Z=0处E×(a-A)=0 e.×(B,-B)=0 r→0，H→0，B→0 根据上述定解条件H和B显然与r有关。而且只有中分量为此提尝试解 且=且石 因而 耳=-ec0 耳=u月-e>0) 此解满足全部方程和边值关系，因此是唯一正确的解 根据 jM=V×M =(“-1×i =(“-107 得到 0 (z>0) -1)E.(z<0 再由 a,+司n=e.x上(B-B) 由 Z=0处δ，=0 得到 29(7=0) 6=(“-1山2 4设x<0半空间充满磁导率为u的均匀介质，x>0空间为真空今有线电流I沿Z轴流动求磁感 应强度和磁化电流分布
解：空间磁场均匀分布满足 0 l H dl I B ds = = 和边值关系 2 1 2 1 ( ) 0 0 ( ) 0 z z e H H Z e B B − = = − = 处 r H B → → → ; 0, 0 根据上述定解条件 H 和 B 显然与 r 有关。而且只有 分量为此提尝试解 2 1 2 I H H e r = = 因而 1 1 ( 0) 2 uI B uH e z r = = 0 2 0 2 ( 0) 2 u I B u H e z r = = 此解满足全部方程和边值关系，因此是唯一正确的解 根据 0 0 ( 1) ( 1) M z J M u H u u J u = = − = − 得到 M J = 0 0 ( 0) ( 1) ( 0 z z u Ie z u − 再由 2 1 0 1 ( ) f m z e B B u + = − 由 Z=0 处 f =0 得到 m = 0 ( 1) 2 r u I e u r − （Z=0） 4 设 x<0 半空间充满磁导率为 u 的均匀介质，x>0 空间为真空今有线电流 I 沿 Z 轴流动求磁感 应强度和磁化电流分布
解：由麦克斯韦方程组 ∮ii=1 ∮B.本=0 x=0处 e×(H2-i)=0 en×(B2-B)=0 因为H,和咀，只与r有关，所以有 πr(H(r)+H2(r)=I B(r)=B2(r） 所以 5+)=1 uo u B(r）=B2(r) 解得 B.(r)=B;(r)=u u+4oπr a,-=a.=e,×1(B2-B)=0 因为 fiod 所以 I=1T(B,+B)-πH2+H) =12xrB,-πrH,+H） =2u-ru1u1) u+uo +4πru+4πr -2l-1=2-W-1=w-1 u+uo u+uo u+uo 5某空间区域有轴对称磁场，在柱坐标原点附近已知 A,民-CZ-p)
解：由麦克斯韦方程组 0 L s H dl I B ds = = x=0 处 2 1 2 1 ( ) 0 ( ) 0 x x e H H e B B − = − = 因为 H2和H1 只与 r 有关，所以有 1 2 1 2 ( ( ) ( )) ( ) ( ) r H r H r I B r B r + = = 所以 1 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) B B r I u u B r B r + = = 解得 1 2 B r B r ( ) ( ) = = 0 0 uu I e u u r + 2 1 0 1 ( ) 0 f m m x e B B u − = = − = 因为 0 1 M l l I B dl H dl u = − 所以 2 1 2 1 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 2 ( ) 2 ( ) 2 2 M I r B B r H H u rB r H H u uI u I u I r u u u u r u u r uI u u u u u I I I u u u u u u = + − + = − + = − + + + + − − − = − = = + + + 5 某空间区域有轴对称磁场，在柱坐标原点附近已知 2 2 0 1 Z ) 2 B B C Z − − （
其中B,为常量，求该处B。 解：因为磁场为轴对称所以有 B=B(P,Z) V.B=1 -(pB。)+ 0Bz aZ =10 (PB)-2CZ pop 所以 1 -(PB)=2CZ po 令 pB。=CZp2→B。=CZp 由 v×B=服-1E,+ B2_Be。+ p 00 p oZ z0。 0(pB。)-]e pop 因为 aB。_aB-0 dzo。 所以 B。=CZp V×B=0 B。=CZp 6两个半径为a的同轴圆形，位于Z=±L面上，每个线圈上载有同方向的电流I (1)求轴线上的磁感应强度 (2)求在中心区域产生最接近均匀的磁场时L和a的关系 解： dB=to ldlxp 4πr2 由图得
其中 B0 为常量，求该处 B 解：因为磁场为轴对称所以有 B B Z = ( , ) 1 ( ) 1 ( ) 2 BZ B B Z B CZ = + = − 所以 1 ( ) 2 B CZ = 令 B =CZ 2 = B CZ 由 1 1 ( ) ( ) 1 1 [ ( ) ] Z z r z B B B B B e e Z z B B e = + − + − － 因为 z B B z − =0 所以 B CZ = = B 0 B CZ = 6 两个半径为 a 的同轴圆形，位于 Z= L 面上，每个线圈上载有同方向的电流 I （1）求轴线上的磁感应强度 （2）求在中心区域产生最接近均匀的磁场时 L 和 a 的关系 解： 0 2 ˆ 4 u Idl r dB r = 由图得
dB=oldl sin 4π% B=∮dBcosa =41」 sin2 a cosaodl 4πr6 因为 R cosa=- R2+2 sina=- R2+ ∮dl=2πR B=4oR R=a 2(R2+) 将两线圈产生的磁场叠加 1 3+ 3} [a2+(L-Z2[(a2+(L+Zp B-”6ma1{[ Z+L Z-L 3 [(a2+(L+Z2]2[0a2+(L-Z2 8器-6w24-t+--d 4元 [0a2+(L-Z)2]℉[(a2+(L-Z)2] 令 B 20 得 2L=a 7.半径为的无限长圆柱导体上有恒定电流J均匀分布于截面上，试解矢势A的微分方程 解：设导体的磁导率为4导体外的磁导率为4
0 2 0 4 u Idl dB r = 2 sin B dB = cos = 0 2 2 0 sin cos 4 u I dl r 因为 2 2 cos R R r = + sin = 0 2 2 0 r R r + dl R = 2 2 0 0 2 2 0 2 ( ) u R B R a R r = = + 将两线圈产生的磁场叠加 2 0 3 3 2 2 2 2 1 1 1 2 [( ( )] [( ( )] B u Ia a L Z a L Z = + + − + + 2 3 3 2 2 2 2 2 2 6 [ } 4 [( ( ) ] [( ( ) ] B u Z L Z L a I Z a L Z a L Z + − = − + + + ＋ － 2 2 2 2 2 2 2 7 7 2 2 2 2 2 2 4( ) 4( ) 6 [ } 4 [( ( ) ] [( ( ) ] B u Z L a Z L a a I Z a L Z a L Z + − − − = − + + − + － 令 2 2 B Z =0 得 2L=a 7.半径为 a 的无限长圆柱导体上有恒定电流 J 均匀分布于截面上，试解矢势 A 的微分方程 解：设导体的磁导率为 0 u 导体外的磁导率为