西安电子科技大学：《电动力学 Electrodynamics》课程教学资源（课后习题解答）第一章 电磁现象的普遍规律

第一章电磁现象的普遍规律 1.根据算符△的徽分性与矢量性，推导下列公式： V(A·B)=B×(V×)+(B.V)A+A×(V×B)+(AV)B 1xVx团=f-(不w)1 解：矢量性为 a-(b×c)=b.(c×a=c-(a×b) ① cx(axb)=(b-c)a-(c-a)b ② (a×b)×c=(ca)b-(c.b)a ③ 微商性 (a-B)-da.Bad6 ④ d dt db 4 (axb)=daxb+ax ⑤ dt dt dt 由②得 B。×(V×)=V(B·A-(B。·V)A ⑥ 4.x(VxB)=V(Ac.B)-(Ac.V)B ⑦ ⑥+⑦得 B×(V×A+A×(V×B)=[V(B.·A)+V(A·B)]-[(B。V)A+(A.V)B] 因为 VAB)=V(A·B)+V(AB.) .上式得 V(A.B)=B.×(V×A+Ax(V×B)+(B。V)A+(A.V)B 令B=A得 VA2=2A×(V×)+2(AV)A Ax(×A=274-(4V)A 2.设μ是空间坐标x,y,z的函数，证明：

第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符  的微分性与矢量性，推导下列公式：   =   +  +   +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B B A B A A B A B 1 2 ( ) ( ) 2 A A A A A    =  −  解：矢量性为 a b c b c a c a b   =   =   ( ) ( ) ( ) ① c a b b c a c a b   =  −  ( ) ( ) ( ) ② ( ) ( ) ( ) a b c c a b c b a   =  −  ③ 微商性 ( ) d d a db a b b a dt dt dt  =  +  ④ ( ) d d a db a b b a dt dt dt  =  +  ⑤ 由②得 ( ) ( ) ( ) c c B A B A B A c   =   −  ⑥ ( ) ( ) ( ) c c A B A B A B c   =   −  ⑦ ⑥+⑦得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c B A A B B A A B B A A B c c   +   =   +   −  +          ( ) ( ) ( ) c 因为   =   +  A B A B A B c  上式得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c   =   +   +  +  A B B A A B B A A B c c 令 B A = 得 2  =   +  A A A A A 2 ( ) 2( ) 1 2 ( ) ( ) 2    =  −  A A A A A 2.设μ是空间坐标 x，y，z 的函数，证明：

Vf(u)= f了u du p.A〔ω)=vu.da du VxA)）=Vuxda du 解：① 听w= og+号ug+是we 0 (u)uu)uu)u du ox du dy du dz (u)uuou.) x2,+,+正 -df(uVu du ② A,+2 .w0=4+ dA ou dA,ou dA.ou du ox du dy du oz dA =7: du ③ 8 g e V×A(u）= a Ox dy dz A A,A. =-加+坠-必,+ 4_aA2 Ox oy dA.ou =(d创 40+选业的，+此必-路 du oz du oz du ox edu x du oy dA =7l× du 3.设r=√x-x)2+(y-y)+(2-z)为源点x到场点x的距离，r的方向规定为 从源点指向场点。 (1)证明下列结果，并体会对源变数求徽商

( ) ( ) ( ) df f u u du d A A u u du d A A u u du  =    =     =   解：① ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) x y z x y z x y z f u f u e f u e f u e x y z df u u df u u df u u e e e du x du y du z df u u u u e e e du x y z df u u du     = + +       = + +       = + +    =  ② ( ) x y z x y z A u A A A x y z dA u u u dA dA du x du y du z d A u du      = + +       = + +    =   ③ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z z z y y x x x y z z z y y x x x y z e e e A u x y z A A A A A A A e e e y z z x x y dA dA u u u u u u dA dA dA dA e e e du y du z du z du x du x du y d A u du            =                  = − + − + −             = − + − + −       =   3.设 ' 2 ' 2 ' 2 r x x y y z z = − + − + − ( ) ( ) ( ) 为源点 ' x 到场点 x 的距离，r 的方向规定为 从源点指向场点。 ⑴ 证明下列结果，并体会对源变数求微商

(V=e, +, .+e. 0) 与对场变数求徽商 (V=ē ,0y a +e 0) 8x 的关系 r=r= ,-1=-5 3=0 V.F 京=0,0≠0) (最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节) (2)求V-r,7×r,(a.)r,V(ar),V-[Esin(kr]及7×[Esin(kr】,其中a,k及E。 均为常矢量。 解：() Vr=es ax ey oy e:o x-x y-y =ex x-x+0-yy+-可+8，x-xy+0-yr+e-7 te: 2-2 Vx-x)+(v-y)+(- r=6x++e -(x-x) -0y-y) (-) =6-r+-e-*5-U-7+e-+-r+-+e- =-7r （)e.+()e,+(白)e: r Ox r dy r Oz r Fe,+,+ -e)

（ ' x y z ' ' ' e e e x y z     = + +    ） 与对场变数求微商 （ x y z e e e x y z     = + +    ） 的关系 ' ' ' 3 3 3 3 1 1 , , 0, 0,( 0) r r r r r r r r r r r r r r r  = − =  = − = −  =  = −  =  （最后一式在 r=0 点不成立，见第二章第五节） ⑵ 求        r r a r a r E k r , ,( ) , ( ), [ sin( )] 。 及   [ sin( )] E k r 。 ，其中 a k, 及 E。 均为常矢量。 解：⑴ ' ' ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' ' 2 ' 2 ' 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z r r r r e e e x y z x x y y e e x x y y z z x x y y z z z z e x x y y z z r r     = + +    − − = + − + − + − − + − + − − + − + − + − = ' ' ' ' ' ' ' ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z r r r r e e e x y z x x y y z z e e e x x y y z z x x y y z z x x y y z z r r r     = + +    − − − − − − = + + − + − + − − + − + − − + − + − = − = − 2 3 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) x y z x y z e e e r x r y r z r r r r e e e r x y z r r     = + +    −    = + +    = −

片景++是 r ax r ++是 re,*oy =-vl 1 Vx- 3 V×r+(3)×r 1 x0+3 VrxF -3 一X =0 或这样运7x号=(- 0 (梯度的旋度恒为零)。 V.- 1v.r rr+ -3 3 =0(r≠0) V.r 1 V.r 子+方x-3) =0

' ' ' ' 2 ' ' ' 3 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 x y z x y z e e e r x r y r z r r r r e e e r x y z r r r     = + +    −    = + +    = = − 3 3 3 3 4 4 1 1( ) 1 3 0 3 0 r r r r r r r r r r r r r r   =   +   − =  +   − =  = 或这样证明 3 1 0 r r r     =   − =     （梯度的旋度恒为零）。 3 3 3 4 3 4 3 1 1 3 1 3 1 ( ) 3 0 ( 0) r r r r r r r r r r r r r r r r r  =   +  − =   +  − =  +  =  ' ' 3 ' 3 ' 3 3 4 3 ' 3 3 1 ( ) 1 1 3 1 ( ) ( 3) 0 0( 0) r r r r r r r r r r r r r r r r r r   =  =   +   − − =  +  − =   = − = 

(2) V.r a (x-x)+ 00-y0+8e-) d =3 ex ey V×r= a武 a妙 =0 x-x y-y 2-2 (a-7)r -(a:x ay oy -r or or ay oy a Ox ar a.O =a,ex +ayey+ae: =a (注！这里如果没有引入张量。可以采用分量的方法进行证明，如下) 第一项 =axe(x-0+e,0y-y八+e(e-1=a,g or a 同理，a,y =ayey a. =a.e: (a.V)r=a,e,+a,e,+a.e.=a 7(ar) =a×(V×r)+(a.7)r+r×(V×a)+(r.V)a =a×0+(a.7)r+0+0 =(a.7)r -a

⑵ ' ' ' ( ) ( ) ( ) 3 r x x y y z z x y z      = − + − + −    = ' ' ' 0 x y z e e e r xyz x x y y z z         = =        − − −   ( ) ( ) x y z x y z x x y y z z a r a a a r x y z r r r a a a x y z a e a e a e a     = + +       = + +    = + + = （注！这里如果没有引入张量。可以采用分量的方法进行证明,如下） 第一项 [ ( ) ( ) ( )] , , x x x y z x x y y y z z z x x y y z z r a a e x x e y y e z z a e x x r r a a e a a e y z a r a e a e a e a   = − + − + − =        = =    = + + = 同理， 故（ ） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) +0 0 ( ) a r a r a r r a r a a a r a r a   =    +  +    +  =  +  + =  =