西安电子科技大学：《电动力学 Electrodynamics》课程教学资源（课后习题解答）第六章 狭义相对论

第六章狭义相对论 1.证明牛顿定律在伽利略变换下是协变的，麦克斯韦方程在伽利略变换下不 是协变的。 解：伽利略变换为 x'=x-vt,y'=y 2'=z,t=t. 牛顿定律 F=ma 在ε系： F=m 在ε'系有 F=m'=m成， :牛顿定律在伽利略变换下是协变的。 由伽利略变换有 7=V'」 aaa ax' or=o ax or 在8系有： ×E=- OB aJ 81 VxBoo V.E=P 7.B=0 在ε'系有： OE' V'xE B Ox' @x'8t' V×B=4,J+40 0E'Ox' at' ax'ot' v.E=P,7.B=0 麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 2.设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为1。，它们以相 同速度ⅴ相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根 尺子上测量另一根尺的长度。 解： 系 △x=I, ① △1=0， ②

第六章 狭义相对论 1.证明牛顿定律在伽利略变换下是协变的，麦克斯韦方程在伽利略变换下不 是协变的。 解：伽利略变换为    = = = − = ' , ' . ' , ' z z t t x x vt y y 牛顿定律 F = ma 在  系： F mx    = . 在  系有 F mx mx      =  = ，  牛顿定律在伽利略变换下是协变的。 由伽利略变换有  = . t x t t x        +   =    在  系有：          =   =    = +    = − E , B 0. , , 0 0 0 0        t J B J t B E 在  系有：           =     =                 +       =  +                 +     = − , 0 , 0 0 0 0 E B t x x E t E B J t x x B t B E      麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 2.设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为 0 l ，它们以相 同速度 v 相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根 尺子上测量另一根尺的长度。 解： ② ① 系 0, ,  =  =  t x l

系 Ar= ③ Mt' ④ ∑"系 △r"=4r'-v4r' ⑤ Vi-e 将③④代入⑤得 Ar"= 1+ c2 3.静止长度为1，的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度v。 向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。 ∑系 解：A=6 ① '系 △r'+)△t' 1+ vuo △= =△t ② ,v2 1- ①代入②得

④ ＝ ③ 系 2 2 2 2 0 1 , 1 c v l c v t c v l x − −   = −   ⑤ 系 2 2 1 c v x v x x −   −     =  将 ③ ④ 代入 ⑤ 得 0 2 2 2 2 1 1 l c v c v l x = −         +   =  2 2 2 2 0 1 1 c v c v l l + − = . 3.静止长度为 0 l 的车厢，以速度 v 相对于地面 S 运行，车厢的后壁以速度 0 v 向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。 解： 0 0 u l t = 系 ① 2 2 2 0 2 2 2 0 1 1 1 c v c v u t c v t u c v t t − + =   −   +    = 系 ② ① 代入 ② 得

+ uo\1-c2 4.一辆以速度v运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其 避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，随后照亮了铁路沿线上的两铁塔。 求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差，设建筑物及两铁塔都在一 直线上，与列车前进方向一致，铁塔到建筑物的地面距离已知都是。。 解： E系 △1=0 △x=2lo '系 A!'=_cAr 2lov V1-c cll-e 5.光源S与接收器R相对静止，距离为l。,S-R装置浸在均匀 无限的液体介质（静止折射率）中，诚对下列三种情况计算光源发出讯号到接 收器到讯号所经历时间， (1).液体介质相对于S-R装置静止。 (2).液体沿着S-R连线方向以速度v流动。 (3).液体垂直于S-R连线方向以速度v流动。 解：(1).由于介质的存在，所以光速为 所以 (以= c (2).由速度变换公式 4s巡+v 1+型 得：

2 2 0 2 0 0 1 1 c v u c u v l t −       +  = 4.一辆以速度 v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其 避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，随后照亮了铁路沿线上的两铁塔。 求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差，设建筑物及两铁塔都在一 直线上，与列车前进方向一致，铁塔到建筑物的地面距离已知都是 0 l 。 解： 0 2 0 x l t  =  = 系 2 2 2 0 2 2 2 1 2 1 c v c l v c v x c v t − = −    = 系 5.光源 S 与接收器 R 相对静止，距离为 0 l ，S-R 装置浸在均匀 无限的液体介质（静止折射率 n）中，诚对下列三种情况计算光源发出讯号到接 收器到讯号所经历时间， （1）.液体介质相对于 S-R 装置静止。 （2）.液体沿着 S-R 连线方向以速度 v 流动。 （3）. 液体垂直于 S-R 连线方向以速度 v 流动。 解：（1）.由于介质的存在，所以光速为 n c 所以 ( ) c nl t 0  1 = （2）.由速度变换公式 2 1 c u v u v u x x x  + + = 得：

us =n 1+y nc nc +V n (3)光的传播速度为 n 因为 u,=-y,4(=0, 因此 lx=1 将光线在S-R连线方向上的传播速度，变换到实验室参考系Σ上，有： h 1+ 由此得到∑系中光从S到R的时间： o △1= 6.在坐标系Σ中，有两个物体都以速度u沿x轴运动，在Σ系看来，它们一 直保持距离I不变，今有一观察者以速度ⅴ沿X轴运动，他看到这两个物体的距 离是多少？ 解： ' ∑" 1' I" △f'=0 从∑到Σ”有：

nc v v n c ux + + = 1  ( ) v n c l nc v u l t x +       + =  = 0 0 2 1 （3）.光的传播速度为 n c 因为 u v,  y = −  = 0, ut 因此 2 2 2 V n c ux = −  将光线在 S-R 连线方向上的传播速度 x u  变换到实验室参考系  上，有： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 c v v n c c vu c v u u y x x − − =  +  − = ， 由此得到  系中光从 S 到 R 的时间： 2 2 2 2 2 0 0 1 v n c c v l u l t x − −  = = 。 6.在坐标系  中，有两个物体都以速度 u 沿 x 轴运动，在  系看来，它们一 直保持距离 l 不变，今有一观察者以速度 v 沿 x 轴运动，他看到这两个物体的距 离是多少？ 解：    l l l t = 0 从  到  有：

① 从'到Σ"有 - ② 由速度变换公式有 1-i ③ 由①②得 2 将③代入得： 2 u-V l、 u2 1- (u-v)2

2 2 1 c u l l −  = ① 从  到  有 2 2 1 c v l l  −   = ② 由速度变换公式有 2 1 c uv u v v − −  = ③ 由 ① ② 得 2 2 2 2 1 1 c u c v l l −  −  = 将 ③ 代入得： ( )        − − −  −      − = −             − − −  = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 c uv c u c u v c uv l c u c uv u v c l l