第二章线性空间 线性空间理论是线性泛函分析的重要组成部 分。应用线性泛函分析的方法可以把对许多数 学问题的处理方法加以系统化，在更抽象的意 义上理解初看来毫无关系的数学概念之间的本 质联系
第二章 线性空间 线性空间理论是线性泛函分析的重要组成部 分。应用线性泛函分析的方法可以把对许多数 学问题的处理方法加以系统化，在更抽象的意 义上理解初看来毫无关系的数学概念之间的本 质联系
第二章线性空间 1 线性空间； 2 线性变换； 3、 线性变换的本征值与本征向量： 4、 内积空间； 5、 正交化法； 6、 自伴算子； 7、 等距变换； 8、 正规变换的本征值与本征向量； 9、 平方可积函数空间； 10、完备正交归一函数集； 11、多项式逼近 12、完备正交归一集的例子： 13、正交多项式
1、 线性空间； 2、 线性变换； 3、 线性变换的本征值与本征向量； 4、 内积空间； 5、 正交化法； 6、 自伴算子； 7、 等距变换； 8、 正规变换的本征值与本征向量； 9、 平方可积函数空间； 10、完备正交归一函数集； 11 、多项式逼近 12 、完备正交归一集的例子； 13、 正交多项式 第二章 线性空间
§2.1线性空间 §2线性空间 一、群 设G是一元素集，“”是某种定义在G上的运算，对任意 a∈G,b∈G有(ab)∈G这种运算称为封闭运算。 定义：群为由集合G和封闭运算“”所组成的系统，记为{G,} 它满足以下三个公理： (1) 运算满足结合律：(a·b)c=a(b·c) (2) 存在单位元素e,有e.a=a:e=a (3)对任意的a∈G存在逆元素al满足 a-a=a.a=e 注意：当群满足运算的交换率：a·b=b·☑ 则称为Abel群或交换群
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 一、群 设G是一元素集，“.”是某种定义在G上的运算，对任意 a G b G , 有 (a b G ) 这种运算称为封闭运算。 定义：群为由集合G和封闭运算“.”所组成的系统，记为 G, 它满足以下三个公理： （1）运算满足结合律： ( ) ( ) a b c a b c = （2） 存在单位元素e，有 （3）对任意的 a G 存在逆元素 满足 1 1 a a a a e − − = = 注意：当群满足运算的交换率： a b b a = 则称为Abel群或交换群。 e a a e a = =1 a −
§2.1线性空间 §2线性空间 例： (1)整数的集合，以普通的加法做运算， 构成Abel群。 此时0是单位元素，n和一n互为逆元素。 (2)二维旋转矩阵 r(p) cosp sino -sing cosp (g∈-x,]) 相对矩阵乘法也是一个Abel群。r(O)是单位元。r(p)和r(-p) 互为逆元素。 例：以上是满足交换律的即Abel群，有没有不满足交换律的例子？ 三维旋转的集合是一个不可对易的连续群 先绕z轴转动90度，再绕y轴转动90度 一样？ 先绕y轴转动0度，再绕z轴转动90度
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 例：（1）整数的集合，以普通的加法做运算，构成Abel群。 此时0是单位元素，n 和－n互为逆元素。 （2）二维旋转矩阵 cos sin ( ) ,( [ , ]) sin cos r = − − 相对矩阵乘法也是一个Abel群。 r(0) 是单位元。 r( ) 和 r( ) − 互为逆元素。 例：以上是满足交换律的即Abel 群，有没有不满足交换律的例子？ 三维旋转的集合是一个不可对易的连续群 先绕z轴转动90度，再绕y轴转动90度 先绕y轴转动90度，再绕z轴转动90度 一样？
§2.1线性空间 §2线性空间 例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel群。以n=3 为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为 12 23 12 -F 2 3 2 3 2 3 =B 定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换 运算由右至左连续施行两次
§ 2.1 线性空间 § 2 线性空间 例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel群。 以n=3 为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为 1 2 3 1 2 3 1 2 3 =I =F =D 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 =A =C =B 2 1 3 1 3 2 3 2 1 定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换， 运算由右至左连续施行两次