第三章渐近方法 本章渐进方法着重介绍数学物理中的近似方法,内容 包括积分的渐近展开分析与常微分方程的渐进解法两大部 分。通过本章的学习目的是为提高数学分析的能力和将理 论应用于解决实际问题的本领。该方法在力学、大气科学、 物理海洋、光学、声学等研究领域具有广泛的应用。 渐近计算是数学计算的近似方法之一,它是解析方法 在一定条件下的发展,其与数值方法相结合可以提高计算 的精确程度及计算速度,特别在非线性问题的处理中渐近 方法具有重要的地位
第三章 渐近方法 本章渐进方法着重介绍数学物理中的近似方法,内容 包括积分的渐近展开分析与常微分方程的渐进解法两大部 分。通过本章的学习目的是为提高数学分析的能力和将理 论应用于解决实际问题的本领。该方法在力学、大气科学、 物理海洋、光学、声学等研究领域具有广泛的应用。 渐近计算是数学计算的近似方法之一,它是解析方法 在一定条件下的发展,其与数值方法相结合可以提高计算 的精确程度及计算速度,特别在非线性问题的处理中渐近 方法具有重要的地位
第三章渐近方法 1、 量级符号; 2、渐近展开; 3、渐近展开式的运算; 4、积分的渐近展开式; 5、最陡下降法; 6、 驻定相位法; 7、常微分方程的渐近解;
1、 量级符号; 2、 渐近展开; 3、 渐近展开式的运算; 4、 积分的渐近展开式; 5、 最陡下降法; 6、 驻定相位法; 7、 常微分方程的渐近解; 第三章 渐近方法
§31量级符号 §3渐近方法 由于某些特殊函数具有积分表示式,如果这些函数是 微分方程的解,就可以得到一种以它们的拉普拉斯变换或 傅立叶变换的积分表达式表达的解。因此求解积分的渐近 展开式的问题在解析函数理论中就起特别重要的作用,它 可以使我们得到积分解另一种表达,称此为渐近方法。 同量级 比较函数趋于某个极限时的性质常定义: 量级最多为 量级小于 1)同量级 若x→x时,f(x)/g(x)→1,则称f(x)~g(x) 例:x>0,tanx>x
由于某些特殊函数具有积分表示式,如果这些函数是 微分方程的解,就可以得到一种以它们的拉普拉斯变换或 傅立叶变换的积分表达式表达的解。因此求解积分的渐近 展开式的问题在解析函数理论中就起特别重要的作用,它 可以使我们得到积分解另一种表达,称此为渐近方法。 O o 同量级 量级最多为 量级小于 比较函数趋于某个极限时的性质常定义: 0 若x x f x g x f x g x → → 时, ( ) / ( ) 1 ( ) ( ) ,则称 例: x x x → → 0, tan § 3.1 量级符号 § 3 渐近方法 1) 同量级
§3.1量级符号 §3渐近方法 2)量级最多为 若x>x,时,f(x)/g(x)保持有界,则称f(x)的量级 最多为g(x),记为f(x)=O(g(x) 例: n-→o,Pn(x)=O(x”), x→0,xCos(1/x)→O(x) *也可以说若存在某个常数A,使对定义域D某个内点x的邻域 V内的所有x,满足 VGAG✉度m =A 称函数fx)至多与g(x)同阶
0 ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) x x f x g x f x g x f x O g x → = 若 时, 保持有界,则称 的量级 最多为 ,记为 , ( ) ( ), 0, cos(1/ ) ( ) n n n P x O x x x x O x → = → → 例: 0 ( ) ( ) ( ) lim A ( ) x x f x f x g x → g x = A 或 称函数f (x)至多与g (x)同阶。 § 3.1 量级符号 § 3 渐近方法 2) 量级最多为 也可以说若存在某个常数A,使对定义域D某个内点x0的邻域 V内的所有x,满足
§3.1量级符号 §3渐近方法 3)量级小于 若x→x时,f(x)/g(x)→0,则记f(x)=o(g(x) 例:x→0,tan(x3)=o(x2), x→o,对n>0,x”=o(e) f(x)=OI)的意义是说fx)有界,而f(x)=o(I)的意义是 说f(x)趋于零。 *也可以说若存在任乙>O,定义域D内点x总有一的邻域 V存在,使得所有x∈V。,满足 f(x)≤elg(x)或lim f(x) x→X0 8(x) 称函数fx)是函数gx)的高阶小量
0 若x x f x g x f x o g x → → = 时, ( ) / ( ) 0 ( ) ( ( )) ,则记 3 2 0, tan( ) ( ), , 0, ( ) n x x x o x x n x o e → = → = 对 例: 的意义是说f (x)有界,而 的意义是 说f (x)趋于零。 f x O ( ) (1) = f x o ( ) (1) = § 3.1 量级符号 § 3 渐近方法 3) 量级小于 也可以说若存在任一 ,定义域D内点x0总有一的邻域 存在,使得所有 ,满足 0 V x V 0 x ( ) ( ) ( ) lim 0 ( ) x f x f x g x g x → = 或 称函数f (x)是函数g (x)的高阶小量