新疆大学课程（实脸）教学大纲 新疆大学 “数学分析”课程教学大纲 Mathematical Analysis 课程编号：B052917 课程类型：学科基础必修课程 总学时：288 分：16 适用对象：2006级起数学与系统科学学院各专业（少数民族班） 先修课程：高中数学 使用敕材及参考书： 使用教材：1.《数学分析讲义》（上、下册）（第五版），刘玉琏、傅沛仁、林玎、苑德馨、刘宁编 北京：高等教有出版社，2008年4月第1次印刷。 2.《数学分析》（上、下册），欧阳光中、姚云龙、周渊编著，上海：复旦大学出版社，2011 年5月第5次印刷。 参考书：1.《数学分析》（上、下册）（第三版），欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋编，北京： 高等教有出版社，2008年4月第2次印刷。 2.《数学分析习题集题解》（第三版）（中译本）（供6本），6.几.吉米多维奇著，济南：山 东科学技术出版社，2005年1月第15次印刷。 3.《数学分析的方法与技巧选讲》，定光桂著，北京：科学出版社，2009年4月第1次印 刷。 一、课程性质、目的和任务 本课程是新疆大学数学与系统科学学院数学与应用数学专业、信总与计算科学专业、统计学专业 的一门重要基础课。本课程一方面为后继课程提供所需的基础，同时还为培养学生的独立工作能力提 供必要的训练。通过本课程的学习学会分析方法、培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际 问题的综合应用能力。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关 性的作用。 二、教学基本要求 要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的 习题训练，使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确，并且了解分析学的基本概念及物理、几何 意义，学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。 三、教学内容及要求 依据《2005年新疆大学本科培养方案》，本课程教学在第1、第2和第3学期进行，分别称为《数
新疆大学课程（实验）教学大纲 新疆大学 “数学分析”课程教学大纲 Mathematical Analysis 课程编号：B052917 课程类型：学科基础必修课程 总 学 时：288 学 分：16 适用对象：2006 级起数学与系统科学学院各专业（少数民族班） 先修课程：高中数学 使用教材及参考书： 使用教材：1.《数学分析讲义》(上、下册）（第五版），刘玉琏、傅沛仁、林玎、苑德馨、刘宁 编， 北京：高等教育出版社，2008 年 4 月第 1 次印刷。 2.《数学分析》(上、下册)，欧阳光中、姚云龙、周渊 编著，上海：复旦大学出版社，2011 年 5 月第 5 次印刷。 参考书： 1.《数学分析》（上、下册）（第三版），欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋 编，北京： 高等教育出版社，2008 年 4 月第 2 次印刷。 2.《数学分析习题集题解》(第三版)（中译本）(共 6 本)，Б.П.吉米多维奇 著，济南：山 东科学技术出版社, 2005 年 1 月第 15 次印刷。 3.《数学分析的方法与技巧选讲》，定光桂 著，北京：科学出版社，2009 年 4 月第 1 次印 刷。 一、课程性质、目的和任务 本课程是新疆大学数学与系统科学学院数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业 的一门重要基础课。本课程一方面为后继课程提供所需的基础，同时还为培养学生的独立工作能力提 供必要的训练。通过本课程的学习学会分析方法、培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际 问题的综合应用能力。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关键 性的作用。 二、教学基本要求 要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的 习题训练，使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确，并且了解分析学的基本概念及物理、几何 意义，学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。 三、教学内容及要求 依据《2005 年新疆大学本科培养方案》，本课程教学在第 1、第 2 和第 3 学期进行，分别称为《数
新疆大学课程（实验）教学大纲 学分析1》、《数学分析Ⅱ》和《数学分析》。根据学生的情况，以上所列教材中选一个使用。具体 如下： 1.《数学分析讲义》（上、下册）（第五版），刘玉琏、傅沛仁、林打、苑德馨、刘宁编 北京：高等教有出版社，2008年4月第1次印刷。 《数学分析1》 第一章函数 1.1函数 1.2四类具有特殊性质的函数 1.3复合函数与反函数 重点掌握：函数概念，四类函数及性质，复合函数，反函数。 第二章极限 2.1数列极限 2.2收敛数列 2.3函数极限 24函数极限的定理 重点掌握：数列极限的定义与性质，收敛判别的单调有界原理，函数极限的定义与性质，两个重要 极限，无穷大与无穷小的定义与性质， 第三章连续函数 3.1连续函数 3.2连续函数的性质 重点掌握：函数连续的定义，函数的间断点，闭区间连续函数的性质。 第四章实数的连续性 4.1实数连续性定理 42闭区间上连续函数整体性质的证明 重点掌握：上、下确界的定义，实数连续性的基本定理及其证明，一致连续的概念，闭区间连续函 数性质的证明。 第五章导数与微分 51导数 5.2求导法则与导数公式 5.3隐函数与参数方程求导法则 5.4微分 5.5高阶导数与高阶微分 重点掌握：导数与微分的定义、运算及应用，高阶导数与高阶微分。 第六章微分学的基本定理及其应用 6.1中值定理 6.2洛必达法则 6.3泰勘公式 6.4导数在研究函数上的应用 重点掌握：微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式，利用导数分析函数的性质并作函数图象 《数学分析Ⅱ》
新疆大学课程（实验）教学大纲 学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》和《数学分析Ⅲ》。根据学生的情况，以上所列教材中选一个使用。具体 如下： I.《数学分析讲义》(上、下册）（第五版），刘玉琏、傅沛仁、林玎、苑德馨、刘宁 编， 北京：高等教育出版社，2008 年 4 月第 1 次印刷。 《数学分析Ⅰ》 第一章 函数 1.1 函数 1.2 四类具有特殊性质的函数 1.3 复合函数与反函数 重点掌握：函数概念，四类函数及性质，复合函数，反函数。 第二章 极限 2.1 数列极限 2.2 收敛数列 2.3 函数极限 2.4 函数极限的定理 重点掌握：数列极限的定义与性质，收敛判别的单调有界原理，函数极限的定义与性质，两个重要 极限，无穷大与无穷小的定义与性质。 第三章 连续函数 3.1 连续函数 3.2 连续函数的性质 重点掌握：函数连续的定义，函数的间断点，闭区间连续函数的性质。 第四章 实数的连续性 4.1 实数连续性定理 4.2 闭区间上连续函数整体性质的证明 重点掌握：上、下确界的定义，实数连续性的基本定理及其证明，一致连续的概念，闭区间连续函 数性质的证明。 第五章 导数与微分 5.1 导数 5.2 求导法则与导数公式 5.3 隐函数与参数方程求导法则 5.4 微分 5.5 高阶导数与高阶微分 重点掌握：导数与微分的定义、运算及应用，高阶导数与高阶微分。 第六章 微分学的基本定理及其应用 6.1 中值定理 6.2 洛必达法则 6.3 泰勒公式 6.4 导数在研究函数上的应用 重点掌握：微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式，利用导数分析函数的性质并作函数图象。 《数学分析Ⅱ》
新疆大学课程（实验）教学大纲 第七章不定积分 71不定积分公 7.2分部积分法与换元积分法 7.3有理函数的不定积分 7.4简单无理函数与三角函数的不定积分 重点掌握：不定积分的定义及性质，不定积分的计算。 第八章定积分 81定积分 8.2可积准则 8.3定积分的性质 8.4定积分的计算 8.5定积分的应用 86定积分的近似计管 重点掌握：定积分的定义、存在条件及性质，定积分的计算及应用 第九章级数 9.1数项级数 9.2函数项级数 9.3幂级数 9.4傅里叶级数 重点掌握：收敛与发散的概念，收敛级数的性质，同号级数、变号级数及其收敛性判别法，函数可 级数、一致收敛、幂级数的概念，一致收敛级数的性质，收敛半径，函数的幂级数展开，傅里叶级数 的概念及其收敛性判别法，黎曼引理。 第十章多元函数微分学 10.1多元函数 10.2 元函数的极限与连续 10.3多元函数微分法 10.4二元函数的泰勒公式 重点掌握：多元函数的概念，二元函数的极限与连续概念与性质，偏导数、全微分与方向导数的概 念，复合函数偏导数的链式法则，微分运算法则，极值的概念与计算。 《数学分析III》 第十一章隐函数 山.1隐函数的存在性 11.2函数行列式 11.3条件极值 11,4隐函数存在定理在几何方面的应用 重点掌握：隐函数存在定理，函数行列式的性质，条件极值的概念与计算，曲线的切线与曲面的切 平面方程 第十二章反常积分与含参变量的积分 12.1无穷积分 12.2暇积分 12.3含参变量的积分
新疆大学课程（实验）教学大纲 第七章 不定积分 7.1 不定积分 7.2 分部积分法与换元积分法 7.3 有理函数的不定积分 7.4 简单无理函数与三角函数的不定积分 重点掌握：不定积分的定义及性质，不定积分的计算。 第八章 定积分 8.1 定积分 8.2 可积准则 8.3 定积分的性质 8.4 定积分的计算 8.5 定积分的应用 8.6 定积分的近似计算 重点掌握：定积分的定义、存在条件及性质，定积分的计算及应用。 第九章 级数 9.1 数项级数 9.2 函数项级数 9.3 幂级数 9.4 傅里叶级数 重点掌握：收敛与发散的概念，收敛级数的性质，同号级数、变号级数及其收敛性判别法，函数项 级数、一致收敛、幂级数的概念，一致收敛级数的性质，收敛半径，函数的幂级数展开，傅里叶级数 的概念及其收敛性判别法，黎曼引理。 第十章 多元函数微分学 10.1 多元函数 10.2 二元函数的极限与连续 10.3 多元函数微分法 10.4 二元函数的泰勒公式 重点掌握：多元函数的概念，二元函数的极限与连续概念与性质，偏导数、全微分与方向导数的概 念，复合函数偏导数的链式法则，微分运算法则，极值的概念与计算。 《数学分析 III》 第十一章 隐函数 11.1 隐函数的存在性 11.2 函数行列式 11.3 条件极值 11.4 隐函数存在定理在几何方面的应用 重点掌握：隐函数存在定理，函数行列式的性质，条件极值的概念与计算，曲线的切线与曲面的切 平面方程。 第十二章 反常积分与含参变量的积分 12.1 无穷积分 12.2 瑕积分 12.3 含参变量的积分
新疆大学课程（实歌）敦学大纲 重点掌握：无穷积分收敛与发做的概今及敛散性判别法，瑕积分收敛与发 散的概念及敛散性判别法，含参变量的有限积 的概念与计算 含参变量的无穷积分的概念，一致收 敛的定义 一致收敛积分的性质及判别法，函数与B函数 第十三章重积分 13.1二重积分 13.2三重积分 重点掌握：重积分的概念与性质，二重积分及二重积分的计算，柱面坐标与球面坐标，重积分在物 理上的应用 第十四章曲线积分与曲面积分 14.1曲线积分 14.2曲面积分 143场论初步 重点掌握：第一型曲线积分与曲面积分的定义及计算，第二型曲线积分与曲面积分的定义及计算， 格林公式，曲线积分与路线无关的条件，奥高公式，斯托克斯公式，场的概念，向量场的通量、散度 环量和旋度。 11.《数学分析》（上、下册），欧阳光中、姚云龙、周渊编著，上海：复旦大学出版社，2011年5 月第1版第5次印刷。 《数学分析1》 第一章集合 11集合 1.2数集及其确界 重点内容：集合概念，上、下确界概念。 第二章数列极限 2.1数列极限 2.2数列极限（续） 单调数列的极 2.4子列 重点内容：数列极限的定义，用定义证明，单调数列的极限，子数列概念及性质。 第三章映射与实函数 3.1映射 3.2 元实函数 3.3函数的几何特性 重点内容：映射定义，函数定义，函数的几何特性。 第四章函数极限和连续性 4.1函数极限 4.2函数极限的性质 4.3无穷小量、无穷大量和有界量 重点内容：函数极限的概念及性质，函数连续概念，无穷大量、无穷小量以及它们之间的关系。 第五章连续函数和单调函数 5.1风间上的连续函数 5,2区间上连续函数的基本性质
新疆大学课程（实验）教学大纲 重点掌握：无穷积分收敛与发散的概念及敛散性判别法，暇积分收敛与发 散的概念及敛散性判别法，含参变量的有限积分的概念与计算，含参变量的无穷积分的概念，一致收 敛的定义，一致收敛积分的性质及判别法， 函数与 函数。 第十三章 重积分 13.1 二重积分 13.2 三重积分 重点掌握：重积分的概念与性质，二重积分及二重积分的计算，柱面坐标与球面坐标，重积分在物 理上的应用。 第十四章 曲线积分与曲面积分 14.1 曲线积分 14.2 曲面积分 14.3 场论初步 重点掌握：第一型曲线积分与曲面积分的定义及计算，第二型曲线积分与曲面积分的定义及计算， 格林公式，曲线积分与路线无关的条件，奥高公式，斯托克斯公式，场的概念，向量场的通量、散度、 环量和旋度。 II. 《数学分析》(上、下册)，欧阳光中、姚云龙、周渊 编著，上海：复旦大学出版社，2011 年 5 月第 1 版第 5 次印刷。 《数学分析Ⅰ》 第一章 集合 1.1 集合 1.2 数集及其确界 重点内容：集合概念，上、下确界概念。 第二章 数列极限 2.1 数列极限 2.2 数列极限(续） 2.3 单调数列的极限 2.4 子列 重点内容：数列极限的定义，用定义证明，单调数列的极限，子数列概念及性质。 第三章 映射与实函数 3.1 映射 3.2 一元实函数 3.3 函数的几何特性 重点内容：映射定义，函数定义，函数的几何特性。 第四章 函数极限和连续性 4.1 函数极限 4.2 函数极限的性质 4.3 无穷小量、无穷大量和有界量 重点内容：函数极限的概念及性质，函数连续概念，无穷大量、无穷小量以及它们之间的关系。 第五章 连续函数和单调函数 5.1 区间上的连续函数 5.2 区间上连续函数的基本性质
新疆大学课程（实脸）教学大纲 5.3单调函数的性质 重点内容：连续函数的性质及其证明，单调函数的性质。 第六章 导数和微分 6.1导数概色 6.2求导法则 6.3高阶导数和其他求导法则 6.4微分 重点内容：导数与微分概念，初等函数的导数公式，求导法则，高阶导数，高阶微分。 第七章微分学基本定理及应用 7.1微分中值定理 7.2 Taylor展开式及应用 7.3L'Hospital法则及应用 重点内容：三个中值定理及证明，函数的Taylor展开，L'Hospital法则及应用。 第八章 导数的应用 8.1判别函数的单调性 8.2寻求极值和最值 8.3函数的凸性 8.4函数作图 8.5向量值函数 重点内容：用导数讨论函数的单调性、极值、凸凹性及作图，向量值函数的求导方法。 第九章积分 9.1不定积分 9.2不定积分的换元法和分部积分 9.4可积函数类R[a,b] 9.3定积分 9.5定积分性质 9.6广义积分 9.7定积分与广义积分的计算 9.8若干初等可积函数类 重点内容： 不定积分的概念，不定积分的换元法及分部积分法，定积分的概念，可积准则，定积 分的性质，广义积分概念，定积分的计算，广义积分的计算。 《数学分析》 第十章定积分的应用 10.1平面图形的面积 102曲线的弧长 10.3旋转体的体积和侧面积 10.4物理应用 10.5近似求积 重点内容：用定积分求平面图形的面积，曲线的弧长公式，旋转体的体积及侧面积，定积分的 近似计算
新疆大学课程（实验）教学大纲 5.3 单调函数的性质 重点内容：连续函数的性质及其证明，单调函数的性质。 第六章 导数和微分 6.1 导数概念 6.2 求导法则 6.3 高阶导数和其他求导法则 6.4 微分 重点内容：导数与微分概念，初等函数的导数公式，求导法则，高阶导数，高阶微分。 第七章 微分学基本定理及应用 7.1 微分中值定理 7.2 Taylor 展开式及应用 7.3 L'Hospital 法则及应用 重点内容：三个中值定理及证明，函数的 Taylor 展开，L'Hospital 法则及应用。 第八章 导数的应用 8.1 判别函数的单调性 8.2 寻求极值和最值 8.3 函数的凸性 8.4 函数作图 8.5 向量值函数 重点内容：用导数讨论函数的单调性、极值、凸凹性及作图，向量值函数的求导方法。 第九章 积分 9.1 不定积分 9.2 不定积分的换元法和分部积分法 9.4 可积函数类 R[a,b] 9.3 定积分 9.5 定积分性质 9.6 广义积分 9.7 定积分与广义积分的计算 9.8 若干初等可积函数类 重点内容：不定积分的概念，不定积分的换元法及分部积分法，定积分的概念，可积准则，定积 分的性质，广义积分概念，定积分的计算，广义积分的计算。 《数学分析Ⅱ》 第十章 定积分的应用 10.1 平面图形的面积 10.2 曲线的弧长 10.3 旋转体的体积和侧面积 10.4 物理应用 10.5 近似求积 重点内容：用定积分求平面图形的面积，曲线的弧长公式，旋转体的体积及侧面积，定积分的 近似计算
