第九章级数 第十一章隐函数 第十章多元函数微分学 第十一章隐函数 第十二章反常积分与.. 第十三章重积分 第十二章反常积分与含参变量的积分 访问主页 标题页 第十三章重积分 44 第十四章曲线积分与曲面积分 第2页417 返回 全屏显示 关闭 退出
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第九章级数 第十章多元函数微分学 1第十一章隐函数 第十一章隐函数 第十二章反常积分与。 第十三章重积分 S5.3已给出隐函数的概念和隐函数的求导法则，本章将在一个方程所 确定的隐函数的基础上，进一步推广到方程组所确定的隐函数，并证明隐函 访问主页 数的存在性、连续性、可微性.讨论方程组所确定的隐函数要用到多元函 标题页 数微分学中的一个重要工具-函数行列式.我们将给出函数行列式的性质 及其简单的应用 第3页17 返回 全屏显示 关闭 退出
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§11.1. 隐函数的存在性 一、隐函数概念 第九章级数 弟十章多元西数微分学 第十一章总雨数 在S5.3中，已经给出由方程F(x,y)=0所确定的隐函数. 第十二章反常积分与一 弟十三最重积分 例1.方程F(c,)=xy+3ax2-5y-7=0,x∈R(x≠5)，通过方程 对应唯一一个y,即y= 3x2-7 .显然，有 5-x 访问主页 3x2-7 标题页 Fx,5一x )三0 炒 由隐函数定义y=5-x 32-7是方程F,)=y+3x2-5则-7=0所 第4页417 确定的隐函数它的几何意义是，平面曲线！ 3x2-7是空间曲面2= 返回 5-x 全屏显示 xy+3x2-5y-7与平面z=0(xy平面)的交线， 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 4 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❦11.1. Û➻ê✛⑧✸✺ ➌✦Û➻ê❱❣ ✸§5.3➙,➤➨❽Ñ❞➄➜F(x,y)=0↕✭➼✛Û➻ê. ⑦1. ➄➜F(x, y) = xy + 3x 2 − 5y − 7 = 0, ∀x ∈ R(x 6= 5),Ï▲➄➜ é❆➁➌➌❻y,❂y = 3x 2 − 7 5 − x .✇✱,❦ F(x, 3x 2 − 7 5 − x ) ≡ 0 ❞Û➻ê➼➶,y = 3x 2 − 7 5 − x ➫➄➜F(x, y) = xy + 3x 2 − 5y − 7 = 0↕ ✭➼✛Û➻ê.➜✛❆Û➾➶➫,➨→➢❶y = 3x 2 − 7 5 − x ➫➌♠➢→z = xy + 3x 2 − 5y − 7❺➨→z=0(xy➨→)✛✂❶
例2.方程F(x,)=x2+y2-a2=0(a>0),z∈(-a,a),0<y< +∞或-∞<y<0则x∈(-a,a)只对应唯一一个y,即 1=Va2-x2或劝=-√a2-x2 第九章级数 第十章多元函数反分学 第十一章隐函数 显然，有 第十二章反常积分与。 第十三重积分 F(c,h)=F(z,Va2-x2)=0. 与F(x,2)=F(x,-√a2-x2)=0. 访问主页 标题页 由隐函数定义，劝=Va2-x2与2=-Va2-x2都是方程 F(x,)=x2+y2-a2=0 第5页417 所确定的隐函数。它的几何意义是，平面曲线劝=Va2-x2与2= 返回 -va2-x2.(以原点为心以a为半径的上半圆与下半圆)是空间曲面z= 全屏显示 关闭 x2+y2-a2(旋转抛物面)与平面z=0的两条交线. 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 5 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦2. ➄➜F(x, y) = x 2 + y 2 − a 2 = 0(a > 0), ∀x ∈ (−a, a), 0 < y < +∞➼−∞ < y < 0❑∀x ∈ (−a, a)➄é❆➁➌➌❻y,❂ y1 = p a 2 − x 2➼y2 = − p a 2 − x 2 . ✇✱,❦ F(x, y1) = F(x, p a 2 − x 2 ) ≡ 0. ❺F(x, y2) = F(x, − √ a 2 − x 2 ) ≡ 0. ❞Û➻ê➼➶,y1 = √ a 2 − x 2❺y2 = − √ a 2 − x 2 .Ñ➫➄➜ F(x, y) = x 2 + y 2 − a 2 = 0 ↕✭➼✛Û➻ê✧➜✛❆Û➾➶➫➜➨→➢❶y1 = √ a 2 − x 2❺y2 = − √ a 2 − x 2 .(➧✝✿➃✪➧a➃➀➺✛þ➀☛❺❡➀☛) ➫➌♠➢→z = x 2 + y 2 − a 2 (❫❂✍Ô→)❺➨→z=0✛ü❫✂❶
例3.方程F(x,)=xy+2x-2y=0,在原点的某个；邻域(-6,6)，z∈ (一6,6)，通过方程对应唯一一个y,即y=p(x)下面例6将证明这个事实).显 第九章级数 弟十章多元西数微分学 然，有 第十一章总雨数 第十二章反常积分与一 弟十三最重积分 F[z,p(x】≡0. 由隐函数定义，y=p(x)是方程F(x,）=xy+2r-2型=0所确定的隐 访问主页 函数.它的几何意义是，空间曲面z=xy+2-2y与平面z=0在原点邻 标题页 域(-6，)相交成平面曲线y=p(x) 炒 例4.方程F(亿，)=x2+2+2=0,x∈R通过方程不存在对应 第6页417 的y,即方程不确定隐函数.它的几何意义是，空间曲面z=x2+y2+z2(旋转 返回 抛物面)与平面z=0不相交， 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 6 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦3. ➄➜F(x, y) = xy + 2x − 2 y = 0,✸✝✿✛✱❻;✙➁(−δ, δ), ∀x ∈ (−δ, δ),Ï▲➄➜é❆➁➌➌❻y,❂y = ϕ(x)(❡→⑦6ò②➨ù❻➥➣).✇ ✱,❦ F[x, ϕ(x)] ≡ 0. ❞Û➻ê➼➶,y = ϕ(x)➫➄➜F(x, y) = xy + 2x − 2 y = 0↕✭➼✛Û ➻ê.➜✛❆Û➾➶➫,➌♠➢→z = xy + 2x − 2 y❺➨→z=0✸✝✿✙ ➁(−δ, δ)❷✂↕➨→➢❶y = ϕ(x) ⑦4. ➄➜F(x, y) = x 2 + y 2 + r 2 = 0, ∀x ∈ R,Ï▲➄➜Ø⑧✸é❆ ✛y,❂➄➜Ø✭➼Û➻ê.➜✛❆Û➾➶➫,➌♠➢→z = x 2 + y 2 + z 2 (❫❂ ✍Ô→) ❺➨→z=0Ø❷✂