第六章定积分的应用 一、学时分配 讲课学时:6习题课学时:2共8学时 二、基本内容: 1.定积分的元素法。 2.定积分在几何学上的应用。 3.定积分在物理学上的应用 三、敦学要求 1.掌握定积分的元素法,会求所求问题的微元. 2.能够利用定积分的元素法解决平面图形的面积,体积,列长等相关几何问题。 3.能够利用定积分的元素法解决水压力,变力做功,引力等相关物理问题. 四、重点难点 重点: 刹用定积分的元素法解决相关几何,关物理问题 第一节定积分的元素法 教学目的:理解和掌握用定积分去解决实际问题的元素法 教学重点:元素法的思想 教学难点:元素法的正确运用 教学内容: 一、曲边梯形面积计算 设f(x)在区间[a,b]上连续,且fx)≥0,求以曲线y=f(x)为曲边,底为[a,b]的 曲边梯形的面积A. 1.分割区间:用任意一组分点 a=x。<x<<x-<x<<xn=b 将区间分成n个小区间[xx],其长度为:△x=x,-x-1=L,2,),并记 元=max{△x,△x,△x,}相应地,曲边梯形被划分成n个窄曲边梯形,第1个窄曲边梯形 的面积记为△4.于是A=∑△4·A=∑A4 2.计算A4的近似值:△4≈f(5)Ax5.∈xx]=1,2,.,n) 3.求和,得A的近似值:4=∑f八GA
1 第六章 定积分的应用 一、学时分配: 讲课学时:6 习题课学时:2 共 8 学时. 二、基本内容: 1.定积分的元素法. 2.定积分在几何学上的应用. 3.定积分在物理学上的应用. 三、教学要求: 1.掌握定积分的元素法,会求所求问题的微元. 2.能够利用定积分的元素法解决平面图形的面积,体积,弧长等相关几何问题. 3.能够利用定积分的元素法解决水压力,变力做功,引力等相关物理问题. 四、重点难点 1.重点:利用定积分的元素法解决相关几何,关物理问题. 2.难点:会求所求问题的微元. 第一节 定积分的元素法 教学目的:理解和掌握用定积分去解决实际问题的元素法 教学重点:元素法的思想 教学难点:元素法的正确运用 教学内容: 一、曲边梯形面积计算 设 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上连续,且 f (x) 0 ,求以曲线 y f x = ( ) 为曲边,底为 [a,b] 的 曲边梯形的面积 A . 1.分割区间:用任意一组分点 0 1 1 i i n a x x x x x b = = − 将区间 分成 n 个小区 间 1 [ , ] i i x x − ,其长 度为 : ( 1,2, , ) xi = xi − xi−1 i = n ,并记 max{ , , , } 1 2 n = x x x 相应地,曲边梯形被划分成 n 个窄曲边梯形,第 i 个窄曲边梯形 的面积记为 Ai .于是 1 n i i A A = = . 1 n i i A A = = . 2.计算 Ai 的近似值: 1 ( ) [ , ] ( 1,2, , ) A f x x x i n i i i i i i = − . 3.求和,得 A 的近似值: 1 ( ) n i i i A f x = .
4.取极限,得:A-lim∑f(后)△x,-∫心fx)dx. 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题: (1)若将[a,b)分成部分区间[x,x]i=l,2,.,n),则A相应地分成部分量 △4=l2,川,而A=立A4,这表明:所求量A对于区间[a,1具有可加性, (2)用G)Ax近似△4,误差应是Ax,的高阶无穷小.只有这样,和式立fG)Ax 的极限方才是精确值A.故关键是确定 △4≈f(5)△x,(△4,-f(5)△x,=o(△x)) 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼,我们可以给出用定积分计算某个量 的条件与步骤。 二、元素法 1,能用定积分计算的量U,应满足下列三个条件 (1)U与变量x的变化区间[a,b]有关: (2)U对于区间[a,b]具有可加性: (3)U部分量△U,可近似地表示成f5)△x, 2.写出计算U的定积分表达式步骤 (①)根据问题,选取一个变量x为积分变量,并确定它的变化区间[α,b]: (②)设想将区间[a,b]分成若干小区间,取其中的任一小区间[x,x+]: 求出它所对应的部分量AU的近似值 △U≈f(x)dk(f(x)为[a,b]上一连续函数) 则称f(x)dx为量U的元素,且记作dU=f(x)dx (3)以U的元素dU作被积表达式,以[a,b]为积分区间,得: 2
2 4.取极限,得: 0 1 lim ( ) ( )d n b i i a i A f x f x x → = = = . 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题: (1)若 将 [a,b] 分成部分区 间 [ , ]( 1,2, , ) xi−1 xi i = n ,则 A 相应地分成 部分量 A (i 1,2, ,n) i = ,而 = = n i A Ai 1 ,这表明:所求量 A 对于区间 [a,b] 具有可加性. (2)用 i i f ( )x 近似 Ai ,误差应是 i x 的高阶无穷小.只有这样,和式 = n i i i f x 1 ( ) 的极限方才是精确值 A.故关键是确定 ( ) ( ( ) ( ) ) i i i i i i i A f x A − f x = o x 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼, 我们可以给出用定积分计算某个量 的条件与步骤. 二、元素法 1.能用定积分计算的量 U ,应满足下列三个条件 (1) U 与变量 x 的变化区间 [a,b] 有关; (2) U 对于区间 [a,b] 具有可加性; (3) U 部分量 Ui 可近似地表示成 i i f ( )x . 2.写出计算 U 的定积分表达式步骤 (1) 根据问题,选取一个变量 x 为积分变量,并确定它的变化区间 [ , ] a b ; (2) 设想将区间 [ , ] a b 分成若干小区间,取其中的任一小区间 [ , ] x x dx + ; 求出它所对应的部分量 U 的近似值 U f (x)dx ( f x( ) 为 [ , ] a b 上一连续函数) 则称 f x x ( )d 为量 U 的元素,且记作 dU f x x = ( )d . (3) 以 U 的元素 dU 作被积表达式,以 [ , ] a b 为积分区间,得:
U=[fx)dx,这个方法叫做元素法, v=f(x) 其实质是找出U的元素dU的微分表达式 dU=f(x)dx (asxsb) 因此,也称此法为微元法。 04 x+db 三、小结与思考: 1.复述元素法的提出、思想、步骤(注意微元法的本质) 2。思考如何判断所寻找到的近似式就是所求微元 四、作业:作业卡 第二节定积分在几何学上的应用 教学目的:学会用元素法计算平面图形的面积、体积以及计算平面曲线的弧长。 教学重点:平面图形的面积、体积、平面曲线弧长的计算 教学难点:面积元素、体积元素、弧长元素的选取. 教学过程 一、平面图形的面积 1.直角坐标的情形 由曲线y=f(x)f(x)≥0)及直线x=a与x=b(a<b)与x轴所围成的曲边梯形 面积为A.则A=fx)dx,其中:f(x)dx为面积元素.它表示高为f(x)、底为dx 的一个矩形面积. 由曲线y=f(x)与y=g(x)及直线x=a与x=b y=f(x) (a<b)且f(x)≥g(x)所围成的图形面积A. y=g(x) A=[f(x)dx-[g(x)dx=[[f(x)-g(x)]dx 其中:[f(x)-g(xk为面积元素. 例1计算由两条抛物线:y2=x与y=x2所围成的图形面积. 解解方程组广=得两条抛物线的交点坐标为:Q.0)与L: y=x2 取[x,x+dx)c[0,1],得面积微元为:dA=(F-x2)dx
3 ( )d b a U f x x = ,这个方法叫做元素法, 其实质是找出 U 的元素 dU 的微分表达式 dU f x x a x b = ( )d ( ) 因此,也称此法为微元法. 三、小结与思考: 1.复述元素法的提出、思想、步骤(注意微元法的本质). 2.思考如何判断所寻找到的近似式就是所求微元. 四、作业:作业卡 第二节 定积分在几何学上的应用 教学目的:学会用元素法计算平面图形的面积、体积以及计算平面曲线的弧长. 教学重点:平面图形的面积、体积、平面曲线弧长的计算. 教学难点:面积元素、体积元素、弧长元素的选取. 教学过程: 一、平面图形的面积 1.直角坐标的情形 由曲线 y = f (x)( f (x) 0) 及直线 x a = 与 x b = ( a b )与 x 轴所围成的曲边梯形 面积为 A .则 ( )d b a A f x x = . 其中: f x x ( )d 为面积元素.它表示高为 f x( ) 、底为 d x 的一个矩形面积. 由曲线 y f x = ( ) 与 y g x = ( ) 及直线 x a = 与 x b = ( a b )且 f x g x ( ) ( ) 所围成的图形面积 A . ( )d ( )d [ ( ) ( )]d b b b a a a A f x x g x x f x g x x = − = − 其中:[ f (x) − g(x)]dx 为面积元素. 例 1 计算由两条抛物线: 2 y x = 与 2 y x = 所围成的图形面积. 解 解方程组 2 2 y x y x = = 得两条抛物线的交点坐标为: (0,0) 与 (1,1) ; 取 + [ , d ] [0,1] x x x ,得面积微元为: 2 d ( )d A x x x = − .
于是所求面积为:A仁-d=写-写玉=号 例2计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形面积. 解:1.如图所示:解方程少=2x y=x-4 得交点:(2,-2)和(8,4). 2.选择积分变量并定区间 选取x为积分变量,则0≤x≤8 3.给出面积元素 在0≤x≤2上,dA=[√2x-(-√2x)=22xdk: 在2≤x≤8上,dA=[2x-(x-4)1k=(4+√2x-x)d 4.列定积分表达式 A=f2dx+S[4+-x]dx w.u 另解:若选取y为积分变量,则-2≤y≤4, dA=[0+4)-y]dy -4gra-号4-引e8 显然,解法二较简洁,这表明积分变量的选取有个合理性的问题。 例3求科面子+长=1所固我的面积(口>0b>0。 解:据椭圆图形的对称性,整个椭圆面积应为位于 第一象限内面积的4倍. 狼0发,期00,4 d4-dx
4 于是所求面积为: 3 1 2 3/ 2 1 0 0 2 1 ( )d [ ] 3 3 3 x A x x x x = − = − = . 例 2 计算抛物线 y 2x 2 = 与直线 y = x − 4 所围成的图形面积. 解:1.如图所示:解方程 = − = 4 2 2 y x y x , 得交点: (2,−2) 和 (8,4) . 2.选择积分变量并定区间 选取 x 为积分变量,则 0 8 x 3.给出面积元素 在 0 x 2 上, dA x x dx = − − [ 2 ( 2 ) ] = 2 2xdx ; 在 2 x 8 上, dA x x dx = − − [ 2 ( 4) ] = + − (4 2 ) x x dx . 4.列定积分表达式 2 2 0 0 A x x x x x = + + − 2 2 d [ 4 2 ]d 2 8 3 3 2 2 2 0 2 4 2 2 2 1 4 3 3 2 x x x x = + + − =18 . 另解:若选取 y 为积分变量,则 − 2 y 4 , 1 2 d [ ( 4) ]d 2 A y y y = + − 4 2 2 1 ( 4 )d 2 A y y y − = + − 4 2 3 2 4 2 6 y y y − = + − =18 . 显然,解法二较简洁,这表明积分变量的选取有个合理性的问题. 例 3 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 所围成的面积 (a 0,b 0) . 解:据椭圆图形的对称性,整个椭圆面积应为位于 第一象限内面积的 4 倍. 取 x 为积分变量,则 0 x a, 2 2 1 a x y = b − 2 2 d 1 d x A ydx b x a = = −
:a01S-A号-bm,点:恤 A=4(bsintX-asint)dr =afam7dl=4ab22号=b. 2.极坐标情形 设平面图形是由曲线r=p()及射线 8+d8 0=a,0=B所围成的曲边扇形.取极角0为 积分变量,则a≤0≤B,在平面图形中任意截 取一典型的面积元素△4,它是极角变化区间为 [0,0+d)的窄曲边扇形。 △4的面积可近似地用半径为r=p(),中心角为d0的窄圆边扇形的面积来代替, 即:△1:0OFd0:从而得到了曲边梯形的面积元素d4=oo广d0.于是 4=7p(ea0 例4计算阿基米德螺线p=a0(a>0)上相应与0从0变到2π的一段弧与极轴所围成 的图形的面积。 解:已知∈0,2,0,0+d8c0,2a]可得面积微元为:dA=a8d6,于 限-grao-r 例5计算心形线r=a1+cos0)(a>0)所围成的图形面积, 解:由于心形线关于极轴对称,于是 -2(+cd0(+2cc0)d0
5 故 2 2 0 0 4 d 4 1 d a a x A y x b x a = = − 令 x = acost ) 2 (0 t ,则: b t a x y b 1 sin 2 2 = − = ,dx = −asin tdt , 0 2 A b t a t t = − 4 ( sin )( sin )d 2 2 0 4 sin d ab t t = (2 1)!! 4 2!! 2 ab ab − = = . 2.极坐标情形 设平面图形是 由曲线 r = ( ) 及射线 = , = 所围成的曲边扇形.取极角 为 积分变量,则 ,在平面图形中任意截 取一典型的面积元素 A,它是极角变化区间为 [ , d ] + 的窄曲边扇形. A 的面积可近似地用半径为 r = ( ), 中心角为 d 的窄圆边扇形的面积来代替, 即: 1 2 [ ( ) ] d 2 A ;从而得到了曲边梯形的面积元素 1 2 d [ ( ) ] d 2 A = .于是 1 2 ( )d 2 A = 例 4 计算阿基米德螺线 = a a( 0) 上相应与 从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成 的图形的面积. 解:已知 [0, 2 ], + [ , d ] [0,2 ] 可得面积微元为: 1 2 d ( ) d 2 A a = ,于 是所求面积为: 2 2 2 3 2 2 2 3 0 0 4 d 2 2 3 3 a a A a = = = . 例 5 计算心形线 r a a = + (1 cos ) ( 0) 所围成的图形面积. 解: 由于心形线关于极轴对称,于是 2 2 0 1 2 (1 cos ) d 2 A a = + ( ) 2 2 2 0 a 1 2cos cos d = + + 2 0 3 1 2sin sin 2 2 4 a = + + 3 2 2 = a .