新疆大学课程（实脸）教学大纲 新疆大学 “数学分析”课程教学大纲 Mathematical Analysis 课程编号：B052917 课程类型：学科基础必修课程 总学时.28 学分：16 适用对象：2011级起数学与系统科学学院本科各专业（汉族班》 先修课程 高中数学 使用教材：1.《数学分析》（上、下册）（第三版），欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋编，北京： 高等教育出版社，2008年4月第2次印刷。 2.《数学分析》（上、下册），欧阳光中、姚云龙、周渊编著，上海：复旦大学出版社，2011 年5月第5次印刷。 参考书：1《数学分析讲义》（上、下册）（第五版），刘玉琏、傅沛仁、林玎、苑德馨、刘宁编， 北京：高等教育出版利 2008年4月第1次印刷。 2.《数学分析习题集题解》（第三版）（中译本）（供6本），5.Ⅱ.吉米多维奇著，济南：山 东科学技术出版社，2005年1月第15次印刷。 3.《数学分析的方法与技巧选讲》，定光桂著，北京：科学出版社，2009年4月第1次印 4.《Principles of Mathematical Analysis(数学分析原理)》，W.Rudin 著，北京：机械工业 出版社，2008年10月第8次印刷。 一、课程性质、目的和任务 《数学分析》课程是新疆大学数学与系统科学学院数学与应用数学专业、信息与计算科学专业 统计学专业的主要基础必修课之 ,它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应 用的必要基础 ,同时还为培养学生的独 工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容利 方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。 通过本课程的学习，要使学生了解分析学的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系：学会分 析方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。 二、教学基本要求 要求学 生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的 习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理 论及方法去处理实际问题。 三、教学内容及要求 205年新疆大学本科培养方案》，本课程教学在第1、第2和第3学期进行，分别称为《数 学分析1》、《数学分析Ⅱ》和《数学分析Ⅲ》。根据学生的情况，以上所列教材中选一个使用。具体 如下： 【《数学分析》（上、下册）（第三版），欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋编，北京：高等教 育出版社，2008年4月第2次印刷 《数学分析1》
新疆大学课程（实验）教学大纲 新疆大学 “数学分析”课程教学大纲 Mathematical Analysis 课程编号： B052917 课程类型：学科基础必修课程 总 学 时： 288 学 分：16 适用对象： 2011 级起数学与系统科学学院本科各专业（汉族班） 先修课程： 高中数学 使用教材：1.《数学分析》（上、下册）（第三版），欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋 编，北京： 高等教育出版社，2008 年 4 月第 2 次印刷。 2.《数学分析》(上、下册)，欧阳光中、姚云龙、周渊 编著，上海：复旦大学出版社，2011 年 5 月第 5 次印刷。 参考书： 1.《数学分析讲义》(上、下册）（第五版），刘玉琏、傅沛仁、林玎、苑德馨、刘宁 编， 北京：高等教育出版社，2008 年 4 月第 1 次印刷。 2.《数学分析习题集题解》(第三版)（中译本）(共 6 本)，Б.П.吉米多维奇 著，济南：山 东科学技术出版社, 2005 年 1 月第 15 次印刷。 3.《数学分析的方法与技巧选讲》，定光桂 著，北京：科学出版社，2009 年 4 月第 1 次印 刷。 4.《Principles of Mathematical Analysis (数学分析原理)》，W. Rudin 著，北京：机械工业 出版社， 2008 年 10 月第 8 次印刷。 一、课程性质、目的和任务 《数学分析》课程是新疆大学数学与系统科学学院数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、 统计学专业的主要基础必修课之一。它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应 用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和 方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。 通过本课程的学习，要使学生了解分析学的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会分 析方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。 二、教学基本要求 要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的 习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理 论及方法去处理实际问题。 三、教学内容及要求 依据《2005 年新疆大学本科培养方案》，本课程教学在第 1、第 2 和第 3 学期进行，分别称为《数 学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》和《数学分析Ⅲ》。根据学生的情况，以上所列教材中选一个使用。具体 如下： I.《数学分析》（上、下册）（第三版），欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋 编，北京：高等教 育出版社，2008 年 4 月第 2 次印刷 《数学分析Ⅰ》
新疆大学课程（实歌）敦学大纲 第一章变量与函数 1.】函数的概念 复合函数和反函数 1.3基本初等函数 掌握：集合与函数的概念，复合函数和反函数，基本初等函数 第二章极限与连续 2.】数列的极限和无穷大量 2 函数的极限 .3连续函数 2.4无穷小量和无穷大量的阶 掌握：数列极限的定义和性质，敛散性判定的单调有界原理，无穷小量与无穷大量的定义与性 质，函数极限的定义和性质，两个重要极限，函数连续的定义，闭区间上的连续函数的性质。 章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 3.1关于实数的基本定理 3.2闭区间上连续函数性质的证明 掌握：上、下确界的定义，确界存在定理，区间套定理。 了解：致密性定理，柯西收敛原理，有限覆盖定理，闭区间上连续函数性质的证明。 第四章导数与微分 导数的引 进与定义 4.2简单函数的导数 4.3求导法则 4.4复合函数求导法 4.5微分及其运算 4.6隐函数及参数方程所表示函数的求导法 4.7不可导的函数举例 4.8高阶导数与高阶微分 掌握：导数与微分的定义、运算、性质及应用，不可导函数的反例，高阶导数与高阶微分，一 阶微分形式不变性。 第五章微分学基本定理及导数的应用 中值定到 5.2素勒公式 5.3函数的单调性、凸性与极值 5.4平面曲线的曲率 5待定型 5.6 方程的近似解 掌握：微分中值定理，泰勒公式，洛必达法则，利用导数分析函数的升降、凸性、极值及作图。 了解：平面曲线的曲率，弧长的微分。 《数学分析川》 第六章不定积分 6.1不定积分的概念及运算法则 6.2不定积分的计算
新疆大学课程（实验）教学大纲 第一章 变量与函数 1.1 函数的概念 1.2 复合函数和反函数 1.3 基本初等函数 掌握：集合与函数的概念， 复合函数和反函数， 基本初等函数 第二章 极限与连续 2.1 数列的极限和无穷大量 2.2 函数的极限 2.3 连续函数 2.4 无穷小量和无穷大量的阶 掌握：数列极限的定义和性质，敛散性判定的单调有界原理，无穷小量与无穷大量的定义与性 质，函数极限的定义和性质，两个重要极限，函数连续的定义，闭区间上的连续函数的性质。 第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 3.1 关于实数的基本定理 3.2 闭区间上连续函数性质的证明 掌握：上、下确界的定义，确界存在定理，区间套定理。 了解：致密性定理，柯西收敛原理，有限覆盖定理， 闭区间上连续函数性质的证明。 第四章 导数与微分 4.1 导数的引进与定义 4.2 简单函数的导数 4.3 求导法则 4.4 复合函数求导法 4.5 微分及其运算 4.6 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 4.7 不可导的函数举例 4.8 高阶导数与高阶微分 掌握：导数与微分的定义、运算、性质及应用，不可导函数的反例，高阶导数与高阶微分，一 阶微分形式不变性。 第五章 微分学基本定理及导数的应用 5.1 中值定理 5.2 泰勒公式 5.3 函数的单调性、凸性与极值 5.4 平面曲线的曲率 5.5 待定型 5.6 方程的近似解 掌握：微分中值定理，泰勒公式，洛必达法则，利用导数分析函数的升降、凸性、极值及作图。 了解：平面曲线的曲率，弧长的微分。 《数学分析Ⅱ》 第六章 不定积分 6.1 不定积分的概念及运算法则 6.2 不定积分的计算
新疆大学课程（实脸）教学大纲 掌握：不定积分的定义和性质，不定积分的计算。 第十音定分 定积分的概念 7.2 定积分存在的条件 7,3定积分的性质 7.4定积分的计算 掌握：定积分的定义和存在的条件，定积分的性质，定积分的计算 第八章 定积分的应用和近似计 81 平面图形的面积 8.2曲线的弧长 8.3体积 8.4旋转曲面的面积 8.5质心 86平均值、 功 8.7定积分的近似计算 掌握：定积分的几何应用 了解：定积分的物理应用 第九章数项级数 9.1预备知识：上极限和下极限 9.2级数的收敛性及其基本性质 9.3正项级数 9.4任意而级数 9.5绝对收敛级数和条件收敛级数的性质 掌握：无穷级数收敛的概念 收敛级数的性质，正项级数收敛判别法，莱布尼兹、阿贝尔及狄立 克莱判别法，绝对收敛和条件收敛。 了解：上极限和下极限。 第十章反常积分 10.1无穷限的反常积分 10.2无界函数的反常积 掌握：无穷限的广义积分和无界函数的广义积分的概念，收敛判别法。 第十一章函数项级数、幂级数 11.1函数项级数的一致收敛 11.2是级数 11.3逼近定理 掌握：函数项级数的概念，一致收敛的定义，一致收敛级数的性质，幂级数的收敛半径和性质 函数的幂级数展开。 第十二章傅里叶级数和傅里叶变换 12.1函数的傅里叶级数展开 12.2傅里叶变换 掌握：傅里叶级数的概念及收敛判别法，周期函数的傅里叶级数展开，狄立克莱积分，黎曼引理 了解：傅里叶变换。 第十三章多元函数的极限与连续 13.1平面点集 13.2多元函数的极限和连续性
新疆大学课程（实验）教学大纲 掌握：不定积分的定义和性质，不定积分的计算。 第七章 定积分 7.1 定积分的概念 7.2 定积分存在的条件 7.3 定积分的性质 7.4 定积分的计算 掌握：定积分的定义和存在的条件，定积分的性质，定积分的计算。 第八章 定积分的应用和近似计算 8.1 平面图形的面积 8.2 曲线的弧长 8.3 体积 8.4 旋转曲面的面积 8.5 质心 8.6 平均值、功 8.7 定积分的近似计算 掌握：定积分的几何应用。 了解：定积分的物理应用。 第九章 数项级数 9.1 预备知识：上极限和下极限 9.2 级数的收敛性及其基本性质 9.3 正项级数 9.4 任意项级数 9.5 绝对收敛级数和条件收敛级数的性质 9.6 无穷乘积 掌握：无穷级数收敛的概念，收敛级数的性质，正项级数收敛判别法，莱布尼兹、阿贝尔及狄立 克莱判别法，绝对收敛和条件收敛。 了解：上极限和下极限。 第十章 反常积分 10.1 无穷限的反常积分 10.2 无界函数的反常积分 掌握：无穷限的广义积分和无界函数的广义积分的概念，收敛判别法。 第十一章 函数项级数、幂级数 11.1 函数项级数的一致收敛 11.2 幂级数 11.3 逼近定理 掌握：函数项级数的概念，一致收敛的定义，一致收敛级数的性质，幂级数的收敛半径和性质， 函数的幂级数展开。 第十二章 傅里叶级数和傅里叶变换 12.1 函数的傅里叶级数展开 12.2 傅里叶变换 掌握：傅里叶级数的概念及收敛判别法，周期函数的傅里叶级数展开，狄立克莱积分，黎曼引理。 了解：傅里叶变换。 第十三章 多元函数的极限与连续 13.1 平面点集 13.2 多元函数的极限和连续性
新疆大学课程（实歌）敦学大纲 《数学分析川》 第十四章偏导数和全微分 导数的链式法 14.3由方程（组）所确定的函数的求导法 14.4空间曲线的切线与法平面 14.5曲面的切平面与法线 14.6方向导数和梯度 14.7勒公式 掌握：·维欧氏空间的定义，平面点集的拓扑及基本性质，点列的收敛性，多元函数的概念、 极限和连续性。 第十五章极值和条件极值 15.1极值和最小二乘法 15.2条件极情 掌握 偏导数与全微分的概念，链式法则，由方程（组）所确定的函数的求导法，隐函数求号 法，空间曲线的切线与曲面的切平面，方向导数和梯度。 了解：高阶偏导数和高阶全微分，泰勒公式。 第十六章隐函数存在定理、函数相关 16.1隐函数存在定理 16.2函数行列式的性质、函数相关 掌握：极值与条件极值的概念及计算。 第十七章含参变量的积分 掌握：含参变量积分的概念及计算 第十八章含参变量的反常积分 18.1 致收敛的定义 182一致收敛积分的判别法 18.3一致收敛积分的性质 18.4阿贝尔判别法、狄利克雷判别法 18.5欧拉积分，B函数和口函数 掌握：含参变量的广义积分的概念 一致收敛的定义，一致收敛积分的判别法，一致收敛积分 的性 了解：欧拉(Euler)积分，阿贝尔判别法、狄立克莱判别法。 第十九章积分（二重积分、三重积分，第一类曲线、曲面积分）的定义和性质 19.1二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念 19.2积分的性质 重积分 三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念，积分的性质 第二十章重积分的计算及应用 20.1二重积分的计算 20.2三重积分的计算 20.3积分在物理上的应用 20.4反常重积分
新疆大学课程（实验）教学大纲 《数学分析Ⅲ》 第十四章 偏导数和全微分 14.1 偏导数和全微分的概念 14.2 复合函数偏导数的链式法则 14.3 由方程（组）所确定的函数的求导法 14.4 空间曲线的切线与法平面 14.5 曲面的切平面与法线 14.6 方向导数和梯度 14.7 泰勒公式 掌握：n 维欧氏空间的定义，平面点集的拓扑及基本性质，点列的收敛性，多元函数的概念、 极限和连续性。 第十五章 极值和条件极值 15.1 极值和最小二乘法 15.2 条件极值 掌握：偏导数与全微分的概念，链式法则，由方程（组）所确定的函数的求导法，隐函数求导 法，空间曲线的切线与曲面的切平面，方向导数和梯度。 了解：高阶偏导数和高阶全微分，泰勒公式。 第十六章 隐函数存在定理、函数相关 16.1 隐函数存在定理 16.2 函数行列式的性质、函数相关 掌握：极值与条件极值的概念及计算。 第十七章 含参变量的积分 掌握：含参变量积分的概念及计算。 第十八章 含参变量的反常积分 18.1 一致收敛的定义 18.2 一致收敛积分的判别法 18.3 一致收敛积分的性质 18.4 阿贝尔判别法、狄利克雷判别法 18.5 欧拉积分, B 函数和 Г 函数 掌握：含参变量的广义积分的概念，一致收敛的定义， 一致收敛积分的判别法，一致收敛积分 的性质。 了解：欧拉（Euler）积分，阿贝尔判别法、狄立克莱判别法。 第十九章 积分（二重积分、三重积分，第一类曲线、曲面积分）的定义和性质 19.1 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念 19.2 积分的性质 掌握：二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念，积分的性质。 第二十章 重积分的计算及应用 20.1 二重积分的计算 20.2 三重积分的计算 20.3 积分在物理上的应用 20.4 反常重积分
新疆大学课程（实脸）教学大纲 掌握：二重积分及三重积分的计算，柱面坐标与球面坐标。 解：重积分在物理上的应用 第 曲线积分和曲面积分的计算 .1第一类曲线积分的计算 21.2第一类曲面积分的计算 213第一类曲线积分 21.4第二类曲面积分 掌握 类曲线积分与曲面积分的概念及计算，第二类曲线积分与曲面积分的概念及计算， 了解：曲线积分和曲面积分的几何或物理意义及应用。 第二十二章各种积分间的联系和场论初步 22.1各种积分间的联系 22.2曲线积分和路经的无关性 22.3场论初步 掌握：格林公式，曲线积分和路径的无关性，高斯公式，斯托克斯公式 了解：场的概念，通量、散度、环量和旋量，保守场与势函数。 I1.《数学分析》（上、下册），欧阳光中、姚云龙、周渊编著，上海：复旦大学出版社，2011年5 月第1版第5次印刷。 《数学分析1》 第一章集合 11合 1.2数集及其确界 重点内容：集合概念，上、下确界概念。 第二章数列极限 2.1数列极限 2.2数列极限（续） 2.3 单调数列的极限 2.4子列 重点内容：数列极限的定义，用定义证明，单调数列的极限，子数列概念及性质。 第三章映射与实函数 3.1映射 3.2 元实函数 3.3函数的几何特性 重点内容：映射定义，函数定义，函数的几何特性。 第四章函数极限和连续性 41函教极限 4.2 函数极限的性质 4.3无穷小量、无穷大量和有界量 重点内容：函数极限的概念及性质，函数连续概念，无穷大量、无穷小量以及它们之间的关系。 第五章连续函数和单调函数 5.1区间上的连续函数
新疆大学课程（实验）教学大纲 掌握：二重积分及三重积分的计算，柱面坐标与球面坐标。 了解：重积分在物理上的应用。 第二十一章 曲线积分和曲面积分的计算 21.1 第一类曲线积分的计算 21.2 第一类曲面积分的计算 21.3 第二类曲线积分 21.4 第二类曲面积分 掌握：第一类曲线积分与曲面积分的概念及计算，第二类曲线积分与曲面积分的概念及计算。 了解：曲线积分和曲面积分的几何或物理意义及应用。 第二十二章 各种积分间的联系和场论初步 22.1 各种积分间的联系 22.2 曲线积分和路经的无关性 22.3 场论初步 掌握：格林公式，曲线积分和路径的无关性，高斯公式，斯托克斯公式。 了解：场的概念，通量、散度、环量和旋量，保守场与势函数。 II. 《数学分析》(上、下册)，欧阳光中、姚云龙、周渊 编著，上海：复旦大学出版社，2011 年 5 月第 1 版第 5 次印刷。 《数学分析Ⅰ》 第一章 集合 1.1 集合 1.2 数集及其确界 重点内容：集合概念，上、下确界概念。 第二章 数列极限 2.1 数列极限 2.2 数列极限(续） 2.3 单调数列的极限 2.4 子列 重点内容：数列极限的定义，用定义证明，单调数列的极限，子数列概念及性质。 第三章 映射与实函数 3.1 映射 3.2 一元实函数 3.3 函数的几何特性 重点内容：映射定义，函数定义，函数的几何特性。 第四章 函数极限和连续性 4.1 函数极限 4.2 函数极限的性质 4.3 无穷小量、无穷大量和有界量 重点内容：函数极限的概念及性质，函数连续概念，无穷大量、无穷小量以及它们之间的关系。 第五章 连续函数和单调函数 5.1 区间上的连续函数