第七章不定积分 第八章定积分 访问主页 标题页 第九章级数 第十章多元函数微分学 第2页603 返回 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 2 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✶ Ô Ù Ø ➼ ➮ ➞ ✶ ❧ Ù ➼ ➮ ➞ ✶ ✃ Ù ❄ ê ✶ ➏ Ù õ ✄ ➻ ê ❻ ➞ ➷
第七章 不定积分 一般来说，在数学中，一种运算的出现都伴随着它的逆运算.例 如，有加就有减，有乘就有除，在乘方就有开方，等等.导数运算也不例外，它 也有逆运算，这就是本章所讲的不定积分.为什么要讲不定积分？一是为第 八章的计算定积分服务；二是为一些后继课作准备 访问主页 §7.1不定积分 标题页 N炒 一、原函数 第3页603 返回 数学的各种运算及逆运算都是客观规律的反映.因此，一种运算 全屏显示 的逆运算不仅在数学中是可能的，而且也是解决实际问题所必需的.那么 关闭 退出 解决哪些实际问题应用导数运算的逆运算呢？
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 3 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✶ÔÙ Ø ➼ ➮ ➞ ➌ ❸ ✺ ❵,✸ ê ➷ ➙,➌ ➠ ✩ ➂ ✛ Ñ ② Ñ ❾ ➅ ❳ ➜ ✛ ❴ ✩ ➂. ⑦ ❳,❦❭Ò❦⑦,❦➛Ò❦Ø,✸➛➄Ò❦♠➄,✤✤. ✓ê✩➂➃Ø⑦✠,➜ ➃❦❴✩➂,ùÒ➫✢Ù↕ù✛Ø➼➮➞. ➃➓♦❻ùØ➼➮➞? ➌➫➃✶ ❧Ù✛❖➂➼➮➞ÑÖ; ✓➫➃➌✡❯➅❾❖✗. §7.1 Ø ➼ ➮ ➞ ➌✦✝➻ê ê➷✛❼➠✩➂✾❴✩➂Ñ➫➄✯✺➷✛❻◆. Ï❞,➌➠✩➂ ✛❴✩➂Ø❂✸ê➷➙➫➀❯✛,✌❹➃➫✮û➣❙➥❑↕✼■✛. ❅♦ ✮û❂✡➣❙➥❑❆❫✓ê✩➂✛❴✩➂◗?
例如： 已知物体的运动规律（函数)是s=s(t),其中是时间，s是距离，导 数s(t)=v(t)就是物体在时刻t的瞬时速度.在力学中有时要遇到相反的问 题.已知物体的瞬时速度v(t)函数，问物体的运动规律s(t)=?,即(？)}=v(t) 显然，这是求导运算的逆运算问题. 访问主页 定义设函数f(x)在区间I有定义，存在函数F(x).若 标题页 从炒 r∈I,有F'(x)=f(x), 第4页603 则称函数F(x)是f(x)在区间I的原函数或简称F(x)是f(x)的原函数 返回 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 4 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦❳: ➤⑧Ô◆✛✩➘✺➷↔➻ê↕➫s = s(t),Ù➙t➫➒♠,s➫å❧,✓ ês 0 (t) = v(t)Ò➫Ô◆✸➒➃t✛❪➒❸Ý. ✸å➷➙❦➒❻➅✔❷❻✛➥ ❑. ➤⑧Ô◆✛❪➒❸Ýv(t)➻ê,➥Ô◆✛✩➘✺➷s(t) =?,❂(?)0 = v(t). ✇✱,ù➫➛✓✩➂✛❴✩➂➥❑. ➼➶ ✗➻êf(x)✸➠♠I❦➼➶,⑧✸➻êF(x). ❡ ∀x ∈ I, ❦F 0 (x) = f(x), ❑→➻êF(x)➫f(x)✸➠♠I✛✝➻ê➼④→F(x)➫f(x)✛✝➻ê
例如： z∈R,(sinx)'=cosx,即sinx是cosx的原函数 Va E(-1,1),(arcsin)=1 ,即arcsin是 的原函数 V1-x 1-x2 Vx∈R,(r3)y=3x2,即x3是3x2的原函数 V红∈R,(x3+C)'=3x2,即x3+C也是3x2的原函数. 访问主页 由此可见，若函数f()存在原函数F(x)(F(x)=f(x),则这个 标题页 原函数F(x)加上任意常数C,即F(x)+C也是函数f(x)的原函 数(F(x)+C)=f(z).于是，一个函数存在原函数，那么它必有无 第5页603 限多个原函数 返回 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 5 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦❳: ∀x ∈ R,(sin x) 0 = cos x,❂sin x➫cos x✛✝➻ê. ∀x ∈ (−1, 1),(arcsin x) 0 = 1 √ 1 − x 2 ,❂arcsin x➫ 1 √ 1 − x 2 ✛✝➻ê. ∀x ∈ R,(x 3 ) 0 = 3x 2 ,❂x 3➫3x 2✛✝➻ê. ∀x ∈ R,(x 3 + C) 0 = 3x 2 ,❂x 3 + C➃➫3x 2✛✝➻ê. ❞ ❞ ➀ ❸,❡ ➻ êf(x)⑧ ✸ ✝ ➻ êF(x)(F 0 (x) = f(x)),❑ ù ❻ ✝ ➻ êF(x)❭ þ ❄ ➾ ⑦ êC➜ ❂F(x) + C➃ ➫ ➻ êf(x)✛ ✝ ➻ ê((F(x) + C) 0 = f(x)). ✉➫,➌❻➻ê⑧✸✝➻ê➜❅♦➜✼❦➹ ⑩õ❻✝➻ê
关于原函数有下面两个理论问题：一、原函数的存在问题，即什么机 关报函数存在原函数？这里先给出结论：若函数f(x)在区间I连续，则函数 在区间存在原函数.它的证明在第八章；二、原函数的结构问题，即 若F(x)是在区间I的一个原函数(F(a)=f(x),则f(x)有无限多个原函 数，那么f(x)的无限多个原函数是否仅限于F(x)+C的形式？换句话说，除 访问主页 了F(x)+C的形式之外是否还有其它形式的函数也是f(x)的原函数？答案 标题页 是：除了F(x)+C的形式之外不存在的原函数.下面的定理回答了这个问 题： 定理1.若F(x)是函数f(x)在区间I的一个原函数，则函数f(x)的无限多 第6页603 返回 个原函数仅限于F(x)+C(C∈R)的形式. 全屏显示 关闭 退出
➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 6 ➄ 603 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✬✉✝➻ê❦❡→ü❻♥Ø➥❑: ➌✦✝➻ê✛⑧✸➥❑,❂➓♦➴ ✬✞➻ê⑧✸✝➻ê? ù♣❦❽Ñ✭Ø:❡➻êf(x)✸➠♠Ië❨,❑➻ê ✸➠♠I⑧✸✝➻ê. ➜✛②➨✸✶❧Ù; ✓✦✝➻ê✛✭✟➥❑➜❂ ❡F(x)➫✸➠♠I✛➌❻✝➻ê(F 0 (x) = f(x)), ❑f(x)❦➹⑩õ❻✝➻ ê,❅♦f(x)✛➹⑩õ❻✝➻ê➫➘❂⑩✉F(x) + C✛✴➟? ❺é④❵,Ø ✡F(x) + C✛✴➟❷✠➫➘❸❦Ù➜✴➟✛➻ê➃➫f(x)✛✝➻ê? ❽❨ ➫: Ø✡F(x) + C✛✴➟❷✠Ø⑧✸✛✝➻ê. ❡→✛➼♥↔❽✡ù❻➥ ❑: ➼♥1. ❡F(x)➫➻êf(x)✸➠♠I✛➌❻✝➻ê,❑➻êf(x)✛➹⑩õ ❻✝➻ê❂⑩✉F(x) + C(∀C ∈ R)✛✴➟