第十四章偏导数和全微分 第十五章极值和条件极值 第十六章隐函数存在定理、函数相关 1.1 函数 第十七章含参变量的积分 访问主页 第十八章含参变量的广义积分 标题页 第十九章积分的定义和性质 第二十章重积分的计算及应用 第2页共340页 返回 第二十一章曲线积分和曲面积分的计算 全屏显示 关闭 第二十二章各种积分的联系和场论初步 退出
❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 2 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✶ ➏ ♦ Ù ➔ ✓ ê Ú ✜ ❻ ➞ ✶ ➏ ✃ Ù ✹ ❾ Ú ❫❻✹ ❾ ✶ ➏ ✽ Ù Û ➻ ê ⑧ ✸ ➼ ♥ ✦ ➻ ê ❷ ✬ ✶ ➏ Ô Ù ➵ë❈ þ ✛ ➮ ➞ ✶ ➏ ❧ Ù ➵ë❈ þ ✛ ✷ ➶ ➮ ➞ ✶ ➏ ✃ Ù ➮ ➞✛➼ ➶ Ú ✺ ➓ ✶ ✓ ➏ Ù ➢ ➮ ➞ ✛ ❖ ➂ ✾❆❫ ✶ ✓ ➏ ➌ Ù ➢ ❶ ➮ ➞ Ú ➢ → ➮ ➞ ✛ ❖ ➂ ✶ ✓ ➏ ✓ Ù ❼ ➠ ➮ ➞ ✛ é ❳ Ú ⑤ Ø Ð Ú
第二部分 多变量微分学 第十四章 偏导数和全微分 1.1. 雨数 §1.偏导数和全微分的概念 访问主页 一、偏导数的定义 标题页 对一元函数f(x),我们讨论了它关于的导数，也就是f(x)关于x的变化率.对于 多元函数，同样需要讨论它的变化率.但由于自变量的增多，情况较一元函 数复杂，常常要考虑各个方向的变化率对此，我们可以先考虑关于其中一 第3页共340页 个自变量的变化率.以二元函数ù=fx)为例，我们可以把看作y不变，这时它 返回 就是x的一元函数，对求x导，所得导数就称为二元函数(x,y)关于x的导数. 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 3 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✶✓Ü➞ õ❈þ❻➞➷ ✶➏♦Ù ➔✓êÚ✜❻➞ § 1. ➔✓êÚ✜❻➞✛❱❣ ➌✦➔✓ê✛➼➶ é➌✄➻êf(x),➲❶❄Ø✡➜✬✉✛✓ê,➃Ò➫f(x)✬✉x✛❈③➬.é✉ õ✄➻ê,Ó✘■❻❄Ø➜✛❈③➬.✂❞✉❣❈þ✛❖õ, ➐➵✖➌✄➻ ê❊✱,⑦⑦❻⑧➘❼❻➄➉✛❈③➬.é❞,➲❶➀➧❦⑧➘✬✉Ù➙➌ ❻❣❈þ✛❈③➬.➧✓✄➻êu=f(x)➃⑦,➲❶➀➧r✇❾yØ❈,ù➒➜ Ò➫x✛➌✄➻ê, é➛x✓,↕✚✓êÒ→➃✓✄➻êf(x,y)✬✉x✛✓ê
定义对函数u-f(x,y),如给x以增量△x,于是函数相应地得一改变量 △zu=f(x+△x,y)）-f(x,) △zu 若极限lim lim f亿+△x,)-f(工，边存在则此极限值就称为函 A元 △ 数f(x,y)在点(x,y)处关于x的偏导数，记为： 91.1. 雨数 也可记为 访问主页 f(z,)或uz(x,) 标题页 类似地，如果极限 “炒 lim f(x,y+△-f(x,) △x→0 △g 第4页共340页 存在，则此极限值就称为函数f(x,y)在点(x,y)处关于y的偏导数，记为： 返回 或 全屏显示 0y文∂列 关闭 也可记为 退出 f(工，或(a
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 4 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼➶ é➻êu-f(x,y),❳❽x➧❖þ∆x,✉➫➻ê❷❆✴✚➌❯❈þ ∆xu = f(x + ∆x, y) − f(x, y) ❡✹⑩ lim ∆x→0 ∆xu ∆x = lim ∆x→0 f(x + ∆x, y) − f(x, y) ∆x ⑧✸,❑❞✹⑩❾Ò→➃➻ êf(x,y)✸✿(x,y)❄✬✉x✛➔✓ê,P➃: ∂u ∂x➼ ∂f ∂x ➃➀P➃ fx(x, y)➼ux(x, y) ❛q✴,❳❏✹⑩ lim ∆x→0 f(x, y + ∆y) − f(x, y) ∆y ⑧✸,❑❞✹⑩❾Ò→➃➻êf(x,y)✸✿(x,y)❄✬✉y✛➔✓ê,P➃: ∂u ∂y➼ ∂f ∂y ➃➀P➃ fy(x, y)➼uy(x, y)
同样，对于二元以上的多元函数，例如u-u(x,y,z),当只有自变量变化x而 固定y,z,则 Ou =lim u(x+Ax,y,z)-u(x,y,z) 》11.函数 0x-△r0 △z 是u关于x的偏导数 由以上定义可见，求f(x,)只不过是在fx,y)中把y看作常数，而关于x求 访问主页 导数，这时用的就是一元函数的求导公式和运算法则 标题页 刚1气体的状态方程为)=管，讨论御关于V和T的偏导数 W炒 解在温度不变的等温过程中，压力关于体积的瞬时变化率为P, 广同样，在体积V不变的等容过程中，压力P关于温度T的圆 RT 第5页共340页 时变化率为p= RT 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 5 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Ó✘➜é✉✓✄➧þ✛õ✄➻ê➜⑦❳u-u(x,y,z)➜✟➄❦❣❈þ❈③x✌ ✛➼y,z,❑ ∂u ∂x = lim ∆x→0 u(x + ∆x, y, z) − u(x, y, z) ∆x ➫u✬✉x✛➔✓ê. ❞➧þ➼➶➀❸➜➛fx(x, y)➄Ø▲➫✸f(x,y)➙ry✇❾⑦ê➜✌✬✉x➛ ✓ê➜ù➒❫✛Ò➫➌✄➻ê✛➛✓ú➟Ú✩➂④❑. ⑦1 í◆✛●✕➄➜➃p = RT V ,❄Øp✬✉VÚT✛➔✓ê. ✮ ✸➜ÝØ❈✛✤➜▲➜➙➜Øå✬✉◆➮✛❪➒❈③➬➃pv = RT V V = − RT v 2 ;Ó✘, ✸◆➮VØ❈✛✤◆▲➜➙,Øåp✬✉➜ÝT✛❪ ➒❈③➬➃pt = RT V V = − R v
设在，)=y+2+求别8影#求0,1.1.0,102.0 0x'0则 解 时，把y看成常量，所以 求6时 ∂f =y+2x,fz(0,1)=1,fz(1,0)=2 访问主页 Ox 标题页 求时，把×看成常量，所以 炒 8y of 8y =x+3y2,f(0,2)=12,f(2,0)=2 第6页共340页 返回 全屏显示 关闭 退出
❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 6 ➄ ✁ 340 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦2 ✗f(x, y) = xy+x 2+y 3 ,➛ ∂f ∂x, ∂f ∂y ,➾➛fx(0, 1), fx(1, 0), fy(0, 2), fy(2, 0) ✮ ➛ ∂f ∂x➒,ry✇↕⑦þ,↕➧ ∂f ∂x = y + 2x, fx(0, 1) = 1, fx(1, 0) = 2 ➛ ∂f ∂y➒,rx✇↕⑦þ,↕➧ ∂f ∂y = x + 3y 2 , fy(0, 2) = 12, fy(2, 0) = 2