第一章函数 第二章极限 第三章连续函数 访问主页 标题页 第四章实数的连续性 第2页共444页 第五章重导数与微分 返回 全屏显示 关闭 退出
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第一章变量与函数 s1.函数的概念 一、变量 我们在观察各种自然现象或研究实际问题的时候，会遇到许多的量，这 些量一般可分为两种：和种是在我们所考察的过程中保持不变的量常量， 这种量称为.还有一种是在这一过程中会起变化的量，称为变量.例如，自 由落体的下降时间和下降距离是变量，而落体的质量在这一过程中可以看 为常量.再如将一密封容器内的气体加热，气体的体积和分子数目显然是 访问主页 常量，而气体的温度和压力是变量.在数学中，我们常抽去变量或常量的具 标题页 体意义来研究某一过程中这些量在数值上的关系.但尽管如此，在研究过 炒 程中有时还是需要注意它们的具体意义. 这些量，例如时间、质量、压力、温度、分子数等，都可以用实数来表 第3页共44页 示，所以应该称它们为实变量或实常量.本书的研究对象都是实变量和实 返回 常量.也简称它们为变量或常量. 全屏显示 在中学代数里已经知道，实数包括有理数和无理数两种.所有整数、所 关闭 有分数统称为有理数换句话说，凡能表示为（这里，9为整数，g>0, 退出 并设p和g无公因子)形式的数就是有理数
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除了这种形式的数以外，还存在着不能表示为上述形式的数，如√2，圆周 率π等等，称为无理数.关于实数的严密理论，这里不叙述了，仅列举如下 几个重要的性质，进请读都注意： ()实数和直线上的点有着一一对应的关系，并称这条直线为实数轴.今 后我们将经常利用实数轴上的点来表示实数，而把点和实数统一起来，不 访问主页 加区别 标题页 ()有理数在实数中是稠密的，也就是说，在任何两个不同的实数之间 必存在着有理数.同样无理数也是稠密的，在任何两个不同的实数之间也 必存在着无理数. 第4页共444页 ()有理数与有理数的和或差仍为有理数.有理数与无理数的和或差为 返回 无理数.无理数与无理数的和或差可能仍为无理数，也可能为有理数， 全屏显示 关闭 退出
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在观察各种运动过程的时候，我们还发现，有些变量具有一定的变化范围 例如自由落体的下降时间和距离只有在落体落到地面以前才有意义. 变量的变化范围，也就是变量的取值范围，在取实数值的时候，我们往往 用区间表示：设a,b是有限数，a<b,满足不等式a≤x≤b的x的全体 组成的一个闭区间，记为[a,b],也可以说：变量x的变化范围为闭区间a, b].满足不等式a<x<b的x的全体组成开区间(a,b).而满足不等式 访问主页 a<x≤b或a≤x<b的x的全体组成半开半闭的区间(a,b或[a,b;如 标题页 果变量x能够取实数轴上所有的数，我们把它的变化范围记为(-∞，+∞) ,在这里“∞”并不表示数量，它只不过是一个记号，前面的“+”，“一” 表示方向.有时候，在并不一定要指明是开的或闭的场合，我们也常用，等 第5页共444页 来表示区间. 返回 全屏显示 关闭 退出
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二、函数 在同一现象所碰到的各种变量中，通常并不都是独立变化的.它们之间存 在着依赖关系，我们考察几个具体例子： 1.自由落体运动的规律：根据自由落体公式 这里s表示下降距离，t表示时间，g是重力加速度.这个公式指出了在物 体自由落体的过程中，距离s和时间t的依赖关系 2.用一块边长为a的正方形铁皮作一个高为x的无盖小盒 访问主页 (图1-1) 标题页 于是这盒的容积V和高x存在着依赖关系： V=x(a-2x)2 第6页共444页 返回 3.在中学的数学课程中，已经讲到许多游泳的函数，例如直线函数y=αx+b 全屏显示 (其中a,b都是常数)，又如y=tan号，y=5cos 2x+ 3 等三角函数以 关闭 及对数函数y=g(1+x)和指数函数y=2r等等，它们给出了变量x和变 退出 量y的依赖关系
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