课程代码：B052717,B052817 座位号： 新疆大学2008一2009学年第一学期期末考试 《数学分析(II)》试卷A及其答案 姓名 学号： 专业： 学院： 数学与系统科学学院 班级： 2009年1月16日 装 题号 二 三四五六七八总分 订 得分 线 得分评卷人 内 叙述题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 答 1.请叙述“z=Fx,)确定的隐函数存在定理” 答：若二元函数z=F(工，)在以点(0,0)为中心的矩形区域D满足下列条件； 题 1)F型与F在D连续 无 则（①6>0与3>0，r∈△=(0-d,0+)存在唯一一个（隐）函 效 数y=f(x),使得 Fz,f(x月=0，f(xo)=0,0-B<f(x)<0+B. 线 (2)y=f(x)在区间△连续 ③)=f回)在区问△有连续导数，且f)=- Fa过 2.请叙述“函数f(x)的无穷积分”的定义. 答：设函数f(x)在区间[a,+oo)(或(-0，(-oo,+oo)有定义，符 号f(x)d(或户fe)d,∫fe)d)称为函数f()的无穷积分. 数学分析（四试题第1页（共8页）
❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➅➜➇è➭B052717, B052817 ➀➔Ò➭ ★õ➀➷ 2008—2009 ➷❝✶➌➷ÏÏ✧⑧➪ ✺ê➷➞Û(III)✻➪ò A ✾Ù❽❨ ✻➯➭ ➷Ò➭ ❀➆➭ ➷✓➭ ê➷❺❳Ú❽➷➷✓ ⑩❄➭ 2009 ❝ 1 ✛ 16 ❋ ❑Ò ➌ ✓ ♥ ♦ ✃ ✽ Ô ❧ ♦➞ ✚➞ ✚➞ ➭ò❁ ➌✦◗ã❑ ( ✢➀❑✁ 4 ✂❑➜③❑ 5 ➞➜✁ 20 ➞ ) 1. ➒◗ã“ z = F(x, y) ✭➼✛Û➻ê⑧✸➼♥.” ❽: ❡✓✄➻ê z = F(x, y) ✸➧✿ (x0, y0) ➃➙✪✛Ý✴➠➁ D ÷✈❡✎❫❻: (1) ∂F(x,y) ∂x ❺ ∂F(x,y) ∂y ✸ D ë❨; (2) F(x0, y0) = 0; (3) ∂F(x,y) ∂y |(x0,y0) 6= 0, ❑(1) ∃δ > 0 ❺ β > 0, ∀x ∈ ∆ = (x0 − δ, x0 + δ) ⑧✸➁➌➌❻(Û) ➻ ê y = f(x), ➛✚ F[x, f(x)] ≡ 0, f(x0) = y0, y0 − β < f(x) < y0 + β. (2) y = f(x) ✸➠♠ ∆ ë❨. (3) y = f(x) ✸➠♠ ∆ ❦ë❨✓ê, ❹ f 0 (x) = − ∂F (x,y) ∂x ∂F (x,y) ∂y . 2. ➒◗ã“ ➻ê f(x) ✛➹→➮➞” ✛➼➶. ❽: ✗ ➻ ê f(x) ✸ ➠ ♠ [a, +∞) (➼(−∞, b],(−∞, +∞)) ❦ ➼ ➶, ❰ Ò R +∞ a f(x)dx (➼ R b −∞ f(x)dx, R +∞ −∞ f(x)dx) →➃➻ê f(x) ✛➹→➮➞. ê➷➞Û(III)➪❑ ✶ 1 ➄↔✁ 8 ➄↕
3.请叙述“无穷积分十ef(r)dr的Cauchy收敛准则.” 答：Cauchy收敛准则：无穷积分efr)dr收敛→ e>3A>a>Am>4有a恤< 4.请叙述“f(e)g(x)d的Dirichlet判别法." 答：Dirichlet判别法：设函数f)与g()在区间a,+o)有定义，在任何有穷 区间a.A都可积.若 四)积分F(A)=g)为A的有界函数，即K>0,A>a有1F(川 LA f(a)dx<K: ②)函数f回)是单调的，且1imf)=0, 则无穷积分∫+f(x)g(x)dx收敛. 数学分析四试题第2页（共8页）
3. ➒◗ã“ ➹→➮➞ R +∞ a f(x)dx ✛ Cauchy ➶ñ❖❑.” ❽: Cauchy ➶ñ❖❑: ➹→➮➞ R +∞ a f(x)dx ➶ñ⇐⇒ ∀ > 0, ∃A > a, ∀p1 > A, ∀p2 > A, ❦ Z p2 p1 f(x)dx < . 4. ➒◗ã“ R +∞ a f(x)g(x)dx ✛ Dirichlet ✞❖④.” ❽: Dirichlet ✞❖④: ✗➻ê f(x) ❺ g(x) ✸➠♠ [a, +∞) ❦➼➶, ✸❄Û❦→ ➠♠ [a, A] Ñ➀➮, ❡ (1) ➮➞ F(A) = R A a g(x)dx ➃ A ✛❦✳➻ê, ❂ ∃K > 0, ∀A > a ❦ |F(x)| = R A a f(x)dx ≤ K; (2) ➻ê f(x) ➫ü◆✛, ❹ lim x→+∞ f(x) = 0, ❑➹→➮➞ R +∞ a f(x)g(x)dx ➶ñ. ê➷➞Û(III)➪❑ ✶ 2 ➄↔✁ 8 ➄↕
得分评卷人 二、计算题（本大题共5小题，每题8分，共40分） 求下列函数的系件极值： 80 a证=y+太 =+入贺=+g-1 都在3中连续.令 0驰 =y+入=0→y=-入 ad 装 装林林林林林 =x+入=0→x=-入， 订 =+g-1=0→+y=1 线 则得到入=一是→工=y=,即极值点为（红，列=（经，），极值为，= 2.求积分+ 内 解：由无穷积分酸敏的定义 答 Jh2+r-2= ，+2-=mg+20e- 题 1 无 效 -号，=r+2-e-8=号，=导-个 =-,+n2-2 线 数学分析（四试题第3页（共8页）
❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ✚➞ ➭ò❁ ✓✦❖➂❑ ( ✢➀❑✁ 5 ✂❑➜③❑ 8 ➞➜✁ 40 ➞ ) 1. ➛❡✎➻ê✛❫❻✹❾: z = xy, é❳➄➜➫ x + y = 1. ✮: ❞ Lagrange ➛ê④, ✲ φ(x, y, λ) = xy + λ(x + y − 1), ❑ ∂φ ∂x = y + λ, ∂φ ∂y = x + λ, ∂φ ∂λ = x + y − 1 Ñ✸ R3 ➙ë❨. ✲ ∂φ ∂x = y + λ = 0 ⇒ y = −λ, ∂φ ∂y = x + λ = 0 ⇒ x = −λ, ∂φ ∂λ = x + y − 1 = 0 ⇒ x + y = 1, ❑✚✔ λ = − 1 2 ⇒ x = y = 1 2 , ❂✹❾✿➃ (x, y) = ( 1 2 , 1 2 ), ✹❾➃ z| ( 1 2 , 1 2 ) = 1 4 . 2. ➛➮➞ R +∞ 2 1 x2+x−2 dx. ✮: ❞➹→➮➞➶ñ✛➼➶ Z +∞ 2 1 x 2 + x − 2 dx = Z +∞ 2 1 (x + 2)(x − 1)dx = lim p→+∞ Z p 2 1 (x + 2)(x − 1)dx = lim p→+∞ Z p 2 − 1 3 1 x + 2 − 1 x − 1 dx = − 1 3 lim p→+∞ Z p 2 1 x + 2 dx − Z p 2 1 x − 1 dx = − 1 3 lim p→+∞ [ln(x + 2)| p 2 − ln(x − 1)| p 2 ] = − 1 3 lim p→+∞ ln p + 2 p − 1 − ln 4 = − 1 3 ln lim p→+∞ p + 2 p − 1 + 2 3 ln 2 = 2 3 ln 2. ê➷➞Û(III)➪❑ ✶ 3 ➄↔✁ 8 ➄↕
3.求6ad 解：x=1是己的暇点.由暇积分收敛的定义 广a 1 1 =aresin6”=,iaresin(1-小-aresin 4.求dze-yd 解.刀 1与y轴围成的区城.由二重积分与累次积分之间的关系 改变累次积分的顺序，先对工后对积分.将D投影到轴得到区间0.1： y∈0，x从x=0到x=y变化.因此 人erw='erk-e =人er胸=人-v-0=-6=-ey 数学分析四试题第4页（共8页）
3. ➛ R 1 0 √ 1 1−x2 dx. ✮: x = 1 ➫ √ 1 1−x2 ✛❛✿. ❞❛➮➞➶ñ✛➼➶ Z 1 0 1 √ 1 − x 2 dx = lim η→0+ Z 1−η 0 1 √ 1 − x 2 dx = lim η→0+ arcsin x| 1−η 0 = lim η→0+ [arcsin(1 − η) − arcsin 0] = arcsin lim η→0+ (1 − η) = arcsin 1 = π 2 . 4. ➛ R 1 0 dx R 1 x e −y 2 dy. ✮: D ➫ y = x, y = 1 ❺y ➯➀↕✛➠➁. ❞✓➢➮➞❺❭❣➮➞❷♠✛✬❳, ❯❈❭❣➮➞✛❫❙, ❦é x é y ➮➞. ò D Ý❑✔ y ➯✚✔➠♠ [0, 1], ∀y ∈ [0, 1], x ❧ x = 0 ✔ x = y ❈③. Ï❞ Z 1 0 dx Z 1 x e −y 2 dy = Z 1 0 dy Z y 0 e −y 2 dx = Z 1 0 e −y 2 x| x=y x=0dy = Z 1 0 e −y 2 ydy = Z 1 0 − 1 2 e −y 2 d(−y 2 ) = − 1 2 e −y 2 | 1 0 = 1 2 (1 − e −1 ) = 1 2 − 1 2e . ê➷➞Û(III)➪❑ ✶ 4 ➄↔✁ 8 ➄↕
系来是我积含金致装保注香由00到 1=人2rt+r=[2x×rt+2x2h-er+2rh ==r6=1 装 订 线 内答 题 效 y/方 数学分析（四）试题第5页（共8页）
❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** 5. ➛✶✓✳➢❶➮➞ I = R C 2xydx + x 2dy, Ù➙ C : y = x 2 , ❞ (0, 0) ✔ (1, 1). ✮: ÷❳ C ❦ dy = 2xdx. ❞✶✓✳➢❶➮➞✛❖➂➄④❦ I = Z C 2xydx + x 2 dy = Z 1 0 2x × x 2 dx + x 2 × 2xdx = Z 1 0 (2x 3 + 2x 3 )dx = Z 1 0 4x 3 dx = x 4 | 1 0 = 1. ê➷➞Û(III)➪❑ ✶ 5 ➄↔✁ 8 ➄↕