§2.3 初等函数 将一元实变初等函数u=f(x)推广为初等复变 函数o=f(z)的要求： 当z=x为实数时，有0=f(z)=u=f(x) 完全与原实变函数相同。 尽量使推广后的复变初等函数仍保留原实变初等函 数的某些重要性质（如连续性、可导性等等）
§2.3 初等函数 将一元实变初等函数 u f x = ( ) 推广为初等复变 函数 = f z( ) 的要求： ① 当 z x = 为实数时，有 = = = f z u f x ( ) ( ) 完全与原实变函数相同。 ② 尽量使推广后的复变初等函数仍保留原实变初等函 数的某些重要性质(如连续性、可导性等等)
米 指数函数 初等实指数函数e的一些重要性质： 处处可导且有(e)=e; 对任意的实数x1,x2,有e+=e.e, 3 对任意的实数x∈R,有e>0。 现在我们将指数函数的定义域推广到整个复 数集中，使其尽可能将这些特性保持下来。即新 的指数函数应满足 处处可导且有(e） e 当Imz=0即z为实数时有e=e f(z)=e"(cosy+isiny)
一 、指数函数 初等实指数函数 e x 的一些重要性质： ① 处处可导且有 (e e ; ) x x = ② 对任意的实数 1 2 x x, , 有 1 2 1 2 e e e ; x x x x + = ③ 对任意的实数 x R , 有 e 0 x 。 现在我们将指数函数的定义域推广到整个复 数集中，使其尽可能将这些特性保持下来。即新 的指数函数应满足 ① 处处可导且有 (e e ; ) z z = ② 当 Im 0 z = 即 z 为实数时有 e e z x = ( ) (cos sin ) x f z e y i y = +
米 定义1对于复数z=x+iy,称 @=e=expz=e*(cosy+isiny 为复指数函数。 性质 1°指数函数o=f(z)=e在整个z平面上都有定义， 且处处解析，导函数为f'(z)=e; 2°对任意的复数21,22，有e+2=e·e2; 3° 当Imz=0即z为实数时有e=e; 4 o=e°是以2πi为周期的周期函数，即有 e+2kmi=e°k=0,±1，+2，… 5°l@l=e=e,Arg0=y+2kπ，k=0,±1，+2，…
定义1 o 1 对于复数 z x y = + i , 称 exp cos sin ( ) z x = = = + e z e y i y 为复指数函数。 性质 指数函数 ( ) z = = f z e 在整个 z 平面上都有定义， 且处处解析，导函数为 ( ) ;z f z e = o 2 对任意的复数 1 2 z z, , 有 1 2 1 2 e e e ; z z z z + = o 3 当 Im 0 z = 即 z 为实数时有 e e ; z x = o 4 z = e 是以 2πi 为周期的周期函数，即有 2 π i e e 0, 1, 2, z k z k + = = o 5 e e ,Arg 2 , 0, 1, 2, z x = = = + = y k k
米 比较 1°e≠0，但e>0一般不成立。 例1求e+和e2 解e3+w=e3(cosπ+isin =-e3 e ecol-)n别 2 -je
比较 o 1 e 0, z 但 e 0 z 一般不成立。 例1 3 πi e 求 + 和 π 1 i 2 e − 解 ( ) 3 π 3 e e cosπ+isinπ + i = 3 = −e π 1 2 1 π π e =e cos +isin 2 2 − i − − = −ie
米 二、对数函数 定义2指数函数z=e°(z≠0)的反函数，称为对数 函数，记为o=Lnz。 注1这里o=Lnz实际上是关于o的方程z=e° 的所有解。 注2对数函数的定义域{zz∈C,z≠0} z=e=reio,@=Lnz=u+iv 则有 2=etiv=e"eiv=rei 于是有r=e,v=0+2km=Argz 从而o=Lnz=u+iw=lnr+i(0+2km) Inz+iArgz=Inz+i(argz+2kn) k=0,±1，±2，…
二、对数函数 定义2 指数函数 z z e ( 0) = 的反函数，称为对数 函数，记为 = Ln z。 的所有解。 注1 这里 = Ln z 实际上是关于 的方程 z e = 注2 对数函数的定义域 z z z | C, 0 设 i z r e e , = = = = + Ln i z u v 则有 i i i e e e e , u v u v z r + = = = 于是有 e , 2 π Arg u r v k z = = + = 从而 = = + = + + Ln i ln i( 2 z u v r kπ) = + ln | | i Arg z z= + + ln | | i(arg 2 z z kπ) k = 0, 1, 2