第15章电路方程的矩阵形式 15-1 以结点⑤为参考，写出图示有向图的关联矩阵A。 题15-1图 解：图（日）有向图的关联矩阵A为 -?日886898 0-1001-10001 400-1100010-1 图(b)有向图的关联矩阵A为 可8月88678 A=200-1110-10 30000-1100 4-11000000 注：A为降阶关联矩阵，对具有个n结点，b条支路的电路，A为(n一1)*b阶矩 阵，它的元素只有三种0,1,1，它反映了各支路电流与各结点之间的关联情况，满足 4=0。 15-2 对于图(a)和图(b),与用虚线画出的闭合面S相切割的支路集合是否构成割集？ 为什麽 题15-2图
第 15 章 电路方程的矩阵形式 15-1 以结点⑤为参考，写出图示有向图的关联矩阵 A。 解：图（ａ）有向图的关联矩阵 A 为 − − − − − − − = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 3 2 1 A 图（b）有向图的关联矩阵 A 为 − − = − − 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 A 注：A 为降阶关联矩阵，对具有个 n 结点，b 条支路的电路，A 为（n－１）*b 阶矩 阵，它的元素只有三种 0，1，-1，它反映了各支路电流与各结点之间的关联情况，满足 Ai = 0。 15-2 对于图（ａ）和图（b），与用虚线画出的闭合面 S 相切割的支路集合是否构成割集？ 为什麽？
解：连通图G的一个割集是G的一个支路集合，把这些支路移去，将使G分离为两 部分，但是如果少移去其中一条支路，G仍将连通。对于图（日）和图(b)所示的图 G若把与图示中闭合面S相切割的支路集合移去，图G将分离为三部分，故这些切割的 支路集合不构成割集。 15-3 对于图示有向图，若选支路1,2,3,7为树，试写出基本割集矩阵和基本回路矩 阵：另外，以网孔作为回路写出回路矩阵 .-、03 、4 15-3图 解：图示有向图中，对于所选树(1,2,3,7)的单树支割集（基本割集）组为： Q1,4,8,Q,(2,4,5,6),Q,(3,5,6,8,Q,(7,6,8)分别如图中虚线所示。按先树支后连支的排序 (这种排序是任意的，可以按先连支后树支排序)，可得出基本割集矩阵为 e88&608 g=0,01001-1-10 Q00100-1-11 9:0001001- 对于所选定树(1,2,3,7)的单连支回路（基本回路）组为：1，(41,2)，1，(5,2,3) 1,(6,23,7),1,(81,3,7八，还按先树支后连支的排序，可得出基本回路矩阵为 B,=401100100 011-10010 14-10-110001 以网孔作为回路时，回中组为m,1,2,4),m2(2,3,5),m,(4,6,8),m,(⑤，6,7)，回路方向均 取为顺时针方向，则回中矩阵为
解：连通图 G 的一个割集是 G 的一个支路集合,把这些支路移去，将使 G 分离为两 部分，但是如果少移去其中一条支路，G 仍将连通。对于图（ａ）和图（b）所示的图 G 若把与图示中闭合面 S 相切割的支路集合移去，图 G 将分离为三部分，故这些切割的 支路集合不构成割集。 15-3 对于图示有向图，若选支路 1，2，3，7 为树，试写出基本割集矩阵和基本回路矩 阵；另外，以网孔作为回路写出回路矩阵 解：图示有向图中，对于所选树（1，2，3，7）的单树支割集（基本割集）组为： (1,4,8), (2,4,5,6), (3,5,6,8), (7,6,8) Q1 Q2 Q3 Q4 分别如图中虚线所示。按先树支后连支的排序 （这种排序是任意的，可以按先连支后树支排序），可得出基本割集矩阵为 − − − − − − = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 Q Q Q Q Qf 对于所选定树（1，2，3，7）的单连支回路（基本回路）组为： (4,1,2), (5,2,3), 1 2 l l (6,2,3,7), (8,1,3,7), 3 4 l l 还按先树支后连支的排序，可得出基本回路矩阵为 − − − − = 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 l l l l Bf 以网孔作为回路时，回中组为 (1,2,4), (2,3,5), (4,6,8), (5,6,7), m1 m2 m3 m4 回路方向均 取为顺时针方向，则回中矩阵为
B.=m0-1-10-1000 m00010101 m400001-110 注：Q,为单树支割集矩阵，称基本割集矩阵，Q,中每一个单树支割集的方向为该 树支方向。对一个n个结点、b条支路的电路，Q,为一个(n-1)b的矩阵。它反映了 各个支路电流与基本割集的关联情况，它的元素也只有三种0，-1,1。它满足方程Q1=0, 这也是KCL的矩阵形式。 B,为单连支回路矩阵，称基本回路矩阵，B,中每一个回路的方向为连支方向。对 一个有1个独立回路，b条支路的电路，B,为1*b的矩阵，它反映了支路电压与基本回 路的关系，它的元素也只有0,1,1。满足方程B,“=0,这也是KVL的矩阵形式。 A,B,Q满足关系： AB=0或B,AI=0 B,Q=0或Q,B时=0 要注意A,B,Q,的各列必须按相同支路编号排序。 15-4 对于图示有向图，若选支路1,2,3,5,8为树，试写出基本割集矩阵和基本回路 矩阵 e 题15-4图 解：图示有向图中，对于所选树(1,2,3,5,8)的单树支割集组为：
− − − − − − = 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 m m m m Bm 注： Q f 为单树支割集矩阵，称基本割集矩阵， Q f 中每一个单树支割集的方向为该 树支方向。对一个 n 个结点、b 条支路的电路， Q f 为一个（n-1）=b 的矩阵。它反映了 各个支路电流与基本割集的关联情况，它的元素也只有三种 0，-1，1。它满足方程 Q i = 0, f 这也是 KCL 的矩阵形式。 B f 为单连支回路矩阵，称基本回路矩阵， B f 中每一个回路的方向为连支方向。对 一个有 l 个独立回路，b 条支路的电路， B f 为 l *b 的矩阵，它反映了支路电压与基本回 路的关系，它的元素也只有 0，-1，1。满足方程 B u = 0, f 这也是 KVL 的矩阵形式。 A Bf Qf , , 满足关系： = 0 = 0 T f T ABf 或B A = 0 = 0 T f f T Bf Qf 或Q B 要注意 A Bf Qf , , 的各列必须按相同支路编号排序。 15-4 对于图示有向图，若选支路 1，2，3，5，8 为树，试写出基本割集矩阵和基本回路 矩阵。 解：图示有向图中，对于所选树（1，2，3，5，8）的单树支割集组为：
2,(1,4,9,10,22(2,4,9),Q(3.4.6,7),Q,(5,6,7,9,10),Q(8,7,9,10)分别如图中虚线所示，则可得 出基本割矩阵为 12345678910 2「100001001] 00100010010 e=g001001-1100=h,l 0000100-11-1-1 900001001-1-1 0011001000 B,=[Qr:1] 00-1-1-10-1100 -1-101100010 -1001100001 155 对图示有向图，若选结点⑤为参考，并选支路1,2,4,5为树。试写出关联矩阵 基本回路矩阵和基本割集矩阵：并验证B=-4,A和Q,=-B。 2 5 题155图 解：设图示有向图的矩阵A,B,和Q,均按先树支后连支排序，所以有 A=30-111100-4:A 3000-1010 400-100-1 B,=l。00-11010-[B,日小 14-111000
(1,4,9,10), (2,4,9), (3,4,6,7), (5,6,7,9,10), (8,7,9,10) Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 分别如图中虚线所示，则可得 出基本割矩阵为 = − − − − − − = 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 4 3 2 1 Q Q Q Q Q Qf 1t Ql − − − − − − − − − − = = 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 - 1t T 1 B Q f 15-5 对图示有向图，若选结点⑤为参考，并选支路 1，2，4，5 为树。试写出关联矩阵、 基本回路矩阵和基本割集矩阵；并验证 T t t T Bf = −A A Q = −B − 1 1 1 , 和 。 解：设图示有向图的矩阵 A Bf 和Qf , 均按先树支后连支排序，所以有 = − − − = − 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 A At Al f t l l l l B = B 1 − − − = 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 3 2 1
g,-80100-0-i-k:g1 001001-1 0400010-10 由以上矩阵B,和Q,可得O1=-B。 又因为 「11117T000]「-10-11 -44=0-1-1-1i 00 10 000-i010 0-11 00-1010-1101 0 所以有：B=-AA。 15-6 对图示电路，选支路1,2,4,7为树，用矩阵形式列出其回路电流方程。各支 路电阻均为3V,各电流源电压均为2A。 解：图b)所示有向图中，对所选树(1,2,4,7)的4个单连支(3,5,6,8)的 回路组为：1，(1,2,3,4,12(4,5,7)，(1,2,6,7)，1，(2,4,8)，且其方向为连支方向，如图(b)所示， 则有B=000-110-10 -1-1000110 140-10-10001 R=diag[O,R2.R3.O.Rs,Ro:R3.Rs] Us=[Us 0-Us3 -Usa Uss 00 1s=010015000
f t l Q Q Q Q Q = 1 Q − − = − − 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 由以上矩阵 T Bf Qf Q1 = −Bt 和 ,可得 。 又因为 − − − = − − − − − − − = − 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 At A 所以有： 1 1 B At A T t − = − 。 15-6 对图示电路，选支路 1，2，4，7 为树，用矩阵形式列出其回路电流方程。各支 路电阻均为 3V，各电流源电压均为 2A。 解：图(b)所示有向图中，对所选树（1，2，4，7）的 4 个单连支（3，5，6，8）的 回路组为： (1,2,3,4), (4,5,7), (1,2,6,7), (2,4,8), 1 2 3 4 l l l l 且其方向为连支方向，如图（b）所示， 则有 − − − − − − − − − = 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 l l l l B 2 3 5 6 7 8 R = diag 0,R ,R ,0,R ,R ,R ,R T US = −US1 0 −US3 −US 4 US5 0 0 0 T S S S I = 0 I 2 0 0 I 5 0 0 0