一、主要定理和定义 1.两个主要定理: 定理一 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 那末积分∫f(z)dz与连结起点及终点的路线 C无关 由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和 终点有美,(如下页图) 2:44:26
一、主要定理和定义 定理一 ( ) , ( )d . C f z B f z z C 如果函数 在单连通域 内处处解析 那末积分 与连结起点及终点的路线 无关 由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和 终点有关, (如下页图) 1. 两个主要定理:
如果起点为z0,终点为乙1, B B 10 fzdk=∫fd=fzdz C C 如果固定,让乙1在B内变动,并令乙1=乙, 便可确定B内的一个单值函数F(a)=」f(5)dG. 2:44:26
B B 0 z 1 z 0 z 1 z C1 C2 C1 C2 0 1 如果起点为 , , z z 终点为 = 1 2 ( )d ( )d C C f z z f z z = 1 0 ( )d z z f z z 0 1 1 如果固定 , , , z z B z z 让 在 内变动 并令 = 0 ( ) ( )d . z z B F z f = 便可确定 内的一个单值函数
定理二 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 那末函数F(z)=if(5)d5必为B内的一个解 析函数,并且F'(z)=f(z). 证 利用导数的定义来证, 设z为B内任一点, . 以z为中心作一含于B内的 小圆K, 2:44:26
0 ( ) , ( ) ( )d , ( ) ( ). z z f z B F z f B F z f z = = 如果函数 在单连通域 内处处解析 那末函数 必为 内的一个解 析函数 并且 定理二 证 利用导数的定义来证. B 设 , z B 为 内任一点 z , z B K 以 为中心作一含于 内的 小圆 K
取△z充分小使z+△z在K内,由F(z)的定义, F(z+Az)-F(z)-f(5)d-[f(6)ds 由于积分与路线无关, 155的积分路线可先取云到:, (注意:这一段与「f(5)d5的 路线相同) 然后从z沿直线到z+△z, 2:44:26
B z K 取 , + z z z K 充分小使 在 内 z + z F(z + z) − F(z) = − + z z z z z f f 0 0 ( )d ( )d 由于积分与路线无关, 0 0 ( )d , z z z f z z + 的积分路线可先取 到 然后从 z 沿直线到 z + z, 0 z • 0 ( : ( )d ) z z f 注意 这一段与 的 路线相同 由 ( ) , F z 的定义
于是F(z+A)-F(a)=f5)d5, 因为∫tfed5=fe∫td5=fa)Az, 所以 F(a+△z-F②-f() △z (- B &V)-feIac 2:44:26
于是 ( ) ( ) F z z F z + − = ( )d , z+z z f ( )d z z z f z + = 因为 z+z z f (z) d = f (z)z, B z K z + z 0 z • ( ) ( ) ( ) F z z F z f z z + − − 所以 ( )d ( ) 1 f f z z z z z − = + [ ( ) ( )]d 1 f f z z z z z − = +