第一章复数与复变函数 1.复数代数运算 2.复数的各种表示法 3.乘幂与方根运算公式 4.复数方程表示曲线以及不等式表示 区域 例2 已知x2+x+1=0,求x1+x+x3的值 解 因为x3-1=(x-1)(x2+x+1) 而x2+x+1=0,故x是一个三次单位根 从而x"=x2,x2=x,x3=1 所以x”+x+x3=x2+x+1=0 2
例3设o是任意一个不等于1的n次单位根,求 1+0+02+…+0的值 解 因为0"=1 所以 1+0+02+.+o"- 1-o" =0. 1-0 例4 解方程 z2-4iz-(4-9i)=0, 解 原方程为z2-4iz+(2i)2+4-(4-9i)=0. 即 (a-2i)2=-9i 于是z-2i=W-9i =3c0s2 +isin 2+2hn 2 3k=0,1 故2-39}-22
例5满足下列条件的点组成何种图形?是不是区 域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域. (1)1.(z)=0: 解I(z)=0是实数轴,不是区域. (2)-元<I(z)<; 解 -元<1.()<元 是以y=-元,y=元 为界的带形单连通区 域。 元 (3)z-2+z+2≤6 解是以±2为焦点,以3为半 长轴的椭圆闭区域,它不是区☒ 2023式 域 2元 (4) 3 argz≤ ,且2<z<3 3 解 不是区域,因为图中 2元 arg=3' arg= 3 在圆环内的点不是内点 6
例6函数=1/z将z平面上的下列曲线变成w平 面上的什么曲线? (①)x2+y2=9,(2)x=2 解(①)因为x2+y2=22=9 又w=1=1=x-1 2+x2+=g- .2 于是 ++力号表示m平面上的圆 (2)x=2. 解 因为z=x+少=2+少y 112-0y 所以w=二= =u+iv z 2+iy 4+y 2 y →u= 4+2,=- 4+y2 因为2+2= 4+y2 (4+y2)2 4+V 所以 表示平面上以(,)为圆心,为半径的圆
第二章 解析函数 1.解析函数的概念; 2.函数解析性的判别(C-R方程) 3.几个常用初等函数 3.初等解析函数 1)指数函数 定义设z=x+y. 称e2=e(cosy+isin y)为z的指数函数. 性质(a)对任意复数z,e=e'>0,则e2≠0; (b)e在z平面上处处解析,而且(e)'=e; (c)e"e"=e; (d)e是以2πi为周期的周期函数, 10