§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理 定理6.3.1设X是一个拓扑空间, 是个闭区间,则X是一个正规空间 当且仅当对于X中的任意两个无交的 闭集A和B,存在一个连续映射 使得当X→[] 和兰f时=a x∈B f(x)=b
§ 6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理 定理6.3.1 设X是一个拓扑空间, 是一个闭区间,则X是一个正规空间 当且仅当对于X中的任意两个无交的 闭集A和B,存在一个连续映射 使得当 时 和当 时 [ , ] a bf X a b : [ , ] → x A x B f x a ( ) = f x b ( ) =
证明:充分性由于[a,b]≥[0,1],因此我 们只要证明[a,b]=[0,1]的情形即可. 必要性 设X是一个正规空间,A和B 是X的两个无交的闭集2,=Q⌒[0,] 2,={r(①),r(2),r(3)}不妨设r(1)=1和 r(2)=0 继续
证明:充分性 由于 ,因此我 们只要证明[a,b]=[0,1]的情形即可. 必要性 设X是一个正规空间,A和B 是X的两个无交的闭集, . 不妨设r(1)=1和 r(2)=0 [ , ] [0,1] a b 见下图 [0,1] Q Q I = { (1), (2), (3) } Q r r r I = 继续