§6.5分离性公理与子空间， (有限)积空间和商空间 定理6.5.1设X和Y是两个同胚的 拓扑空间.如果X是一个完全正则的 空间，则Y也是一个完全正则的空 间
§6.5 分离性公理与子空间， (有限) 积空间和商空间 定理6.5.1 设X和Y是两个同胚的 拓扑空间．如果X是一个完全正则的 空间，则Y也是一个完全正则的空 间．
X Y h'(B) X h(x) B 0 1
X Y x B 0 1 1 h x( ) − 1 h B( ) −
证明设h:X→Y是一个同胚对于Y中的任意一个点x 和任何-个不包含点x的闭集B,k(x)和h(B)分别是X中 的-个点和一个不包含点h{x)的闭集由于X是一个完全正 则空间，故存在一个连续映射f:X→[0,1使得fh{x)》=0 和对于任何yE∫'(B)有f(y)=1.于是连续映射g=fch: Y-+[0,1]满足条件：gx)=0和对于任何z∈B有gz=1.1
定理65,2正则空间的每一个子空间都是正则空间 证朋设X是一个正则空间，Y是X的一个子空间.设y Y和B是Y的-个阔集使得y任B首先，在X中有-个闭集B 使得B∩Y=B因此y8.由于X是一个正则空间，所以y和 B分别在X中有开邻域（对于拓扑空间X雨）心和V使得U门 V=令U=U0Y和V=V∩Y,它们分别是y和B在子空 间Y中开邻域，此外易见U∩V=必.☐
引理6.54设肤射n[0,1→0,1定义为：对于任意1= （4,2)长0,12， m0)=max41,2 则m是一个连续映射