米 第三章复变函数的积分 §3.1复变函数的积分 §3.2柯西积分定理 §3.3柯西积分公式 §3.4解析函数的高阶导数
第三章 复变函数的积分 §3.1 复变函数的积分 §3.2 柯西积分定理 §3.3 柯西积分公式 §3.4 解析函数的高阶导数
来 §3.1复变函数的积分 复变函数积分的定义 定义3.1设函数o=f(z)在C上连续，C为复平面上 以A为起点B为终点的有向光滑（或逐段光滑）曲线， 将C任意分成n个弧段，设分点为： A=20,21,222…2k-1,2k,…2n=B 在每个弧段二k-12k B 上任取一点Sk,作和 Sn=∑f(5k)(2-2k-1) k=1 =∑f(5)△： 20 X
§3.1复变函数的积分 一、复变函数积分的定义 定义 3.1 设函数 = f z( ) 在C上连续，C为复平面上 以A为起点B为终点的有向光滑(或逐段光滑)曲线， O x y A B 将C任意分成 n 个弧段，设分点为： 0 z 1 z 2 z k 1 z − k z n z 0 1 2 1 , , , , , k k n z z z z z z A = − = B 在每个弧段 k k 1 z z − 上任取一点 , k k 作和 1 1 ( )( ) n n k k k k s f z z − = = − 1 ( ) n k k k f z = =
忠 其中A二k=k一2k-1,记△5为2k-2k的弧长，若不论 对C的分法如何k取法如何，只要乳=max{△s}→0 l≤k≤n sn都有相同的极限，则称此极限为f(z)在C上的积分 记为 ∫f(z)d,即 fe址=m2fG.A 若C为闭曲线时，记为 ∮.fe)d
其中 1 , k k k z z z = − − 记 k k k 1 s z z 为 − 的弧长，若不论 对C的分法如何， k 取法如何， 1 max k k n s 只要 = → 0 n s 都有相同的极限，则称此极限为f (z)在C上的积分 记为 ( ) , c f z dz 即 0 1 ( )d lim ( ) n k k C k f z z f z → = = 若C为闭曲线时，记为 ( )d c f z z
二、积分的存在性及其计算 米 定理3.1设函数f(z)=(x,y)+iv(x,y)在逐段 光滑的曲线C上连续，则f()在C上的积分存在， ∫fe)k=小.ud-+j∫edt+ad 证明 将曲线C任意分成n个弧段，设分点为 2k=xk+iyk(k=0,1,…,n)则 A2k=2k-2k-1=△Xk+i△y 在每个弧段上任意取点5k=5k+i7k(k=1,2,…,n) 并记x为n个弧段长度的最大值，则
二、积分的存在性及其计算 定理3.1 设函数 f z u x y v x y ( ) ( , ) i ( , ) = + 在逐段 光滑的曲线C上连续，则 f (z)在C上的积分存在， ( ) i c c c f z dz udx vdy vdx udy = − + + 证明 将曲线 C 任意分成 n 个弧段， 设分点为 i ( 0,1, , ) k k k z x y k n = + = 则 1 i k k k k k z z z x y = − = + − 在每个弧段上任意取点 i ( 1,2, , ), k k k = + = k n 并记λ为n 个弧段长度的最大值，则
lim∑f(5k)△ 0 k=1 lim -→0 ∑[u(5,na)+iv(5,nk)】[A&+iAye] k=1 lim →0 E[u()Ax-v()Av.] +()A+,n)4] 由f)的连续性知，(x,)、v(x,y)也是连续的， 这样上述等式右边的两个和式的极限存在 (正好是 第二类曲线积分)，从而左边极限也存在，此即为 f()d,所以 「f(e)dk=Jew-vd+a+ud
( ) 0 1 lim n k k k f z → = ( ) ( ) 0 1 lim , , n k k k k k k k u iv x i y → = = + + ( ) ( ) 0 1 lim , , n k k k k k k k u x v y → = = − 第二类曲线积分)， 由 f (z)的连续性知，u(x , y) 、v(x , y)也是连续的， 这样上述等式右边的两个和式的极限存在（正好是 从而左边极限也存在，此即为 ( )d , c f z z ( ) ( ) 1 i , , n k k k k k k k v x u y = + + 所以 ( ) c c c f z dz udx vdy i vdx udy = − + +