一、指数函数 定义2.5对于复数z=+y,称 w=e:=extis 为指数函数 对于任意实数y, e=cos y+isiny 称为欧拉公式
一、指数函数 cos y sin y y e i i = + 对于任意实数 y , 为指数函数 对于复数 称 z x i y w e e z x iy + = = 定义2.5 = + , 称为欧拉公式
指数函数的性质 1、指数函数=e在整个复平面有定义 在整个复平面是解析且有:(e)'=e 2、当y=0时,e=e,所以w=e是实 变指数函数在复平面上的解析拓广; 3、由定义可知 le-=e* Arge=y+2kr,k=0,±1,±2,. 4、e≠0
变指数函数在复平面上的解析拓广; 2、当y = 0时,e z = e x ,所以w = e z 是实 指数函数的性质 在整个复平面是解析,且有: 1、指数函数w = e z 在整个复平面有定义, z z (e )'= e y k k , , , | | z z x Arge 2 0 1 2 e e = + = = , 3、由定义可知. z 4、e 0
5、若1三x+iy32三2+y一则 e1·e2=e1+2 但e=e的,未必成立,如e月e子 即e无乘幂的意义.与实指数函数的区别之一。 6、w=e是以2kπi为周期的周期函数: et2kri =e.e2kxi =e (cos 2kn+isin2kn)=e. 与实指数函数的区别之二 7、z→o时,w=e无极限, 事实上:lime2=lime=+oo,lime2=limex=0 二->00 X>+00 Z→00 1X>-00 2=x>0 2=x<0
6、w = e z 是以2ki为周期的周期函数: 5、若z1 = x1 + iy1 ,z2 = x2 + iy2 ,则 . z z z 2 1 2 e e + = 1 z e 7、z → 时,w = e z 无极限,(cos k sin k ) . z 2kπ z k z z e e e e 2 i 2 e i 2 i = = + = 即 + lim lim , x x z x z = = + →+ = → e e z 0 事实上: lime lim 0 z 0 = = →− = → x x z x z e 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) i z z z z i e e e e − − 但 = ,未必成立,如 z 即 无乘幂的意义.与实指数函数的区别之一。 e 与实指数函数的区别之二
二、对数函数 定义2.6把满足e”=z(z≠0)的函数w=f(z) 称为对数函数,记作w=Lnz. 令w=u+iy,z=re,那么e+iw=re. →u=1nr,y=0+2kπ(k=0,±1,±2,) Lnz In+iArgz In+i(arg=+2k). (k=0,±1,±2,…)
二、对数函数 定义2.6 , . ( ) ( ) w z z z w f z w Ln e 0 = = = 称为对数函数 记作 把满足 的函数 l n , ( 0 1 2 ) , , . , , , 令 那么 = = + = = + = = + u r v k k w u iv z r e e r e i u i v i 2 ( 0 1 2 ) Ln ln i ln i(arg 2 ) k , , , z z z z z k . = = + Arg = + +
由定义可知:w=Lnz是z的无穷多值函数 当Argz取主值argz时,称为Lnz的主值, 记作lnz=lnz+iarg, 这是Lnz的一个单值分支 其余各个分支为: Lnz=lnz+i2kr(k=0,±1,±2,…)
w = Lnz 当Argz取主值argz时,称为Lnz的主值, Ln ln i2 ( 0,1, 2,) 其余各个分支为: z = z + k k = 这是 的一个单值分支 记作 , z z z z Ln ln = ln + iarg 由定义可知: w= Lnz 是 z 的无穷多值函数 的无穷多值函数 的无穷多值函数