第三章Sobolev空间 窦芳芳 December 15,2021 4口4+4左，4生+2分Q0 窝芳芳 第三幸Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第三章 Sobolev 空间 窦芳芳 December 15, 2021 窦芳芳 第三章 Sobolev 空间
Holder空间 经典Sobolev空间 3 Sobolev嵌入定理 基于L2的Sobolev空间 ●2=R”情形 。一般2情形 迹定理 时空Sobolev空间 4口4+4左，4生+主分QC 案芳芳 第三章Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Hölder 空间 2 经典 Sobolev 空间 3 Sobolev 嵌入定理 4 基于 L 2 的 Sobolev 空间 Ω = R n 情形 一般 Ω 情形 5 迹定理 6 时空 Sobolev 空间 窦芳芳 第三章 Sobolev 空间
Holder空间 设2CRn有界.定义Holder空间Cka(2)的目的是为了 “填平”连续可微函数C*(2)离散谱之间的“沟壑”.k十α可以被看 作是衡量C(R)函数所具有的正则性的：k阶导数，叠加一个额 外的a阶Holder连续性. C0,a(2)是C(2)的子空间，其范数定义为 IMc-m全mc网+，g二，feca ,ye2,x≠yX-ya 4口4+4左，4生+主分Q 实芳芳 第三幸Sobolev空
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hölder 空间 设 Ω ⊂ R n 有界. 定义 Hölder 空间 C k,α(Ω) 的目的是为了 “填平”连续可微函数 C k (Ω) 离散谱之间的“沟壑”. k + α 可以被看 作是衡量 C k,α(R) 函数所具有的正则性的: k 阶导数, 叠加一个额 外的 α 阶 Hölder 连续性. C 0,α(Ω) 是 C 0 (Ω) 的子空间，其范数定义为 ||f||C0,α(Ω) △ = ||f||C0(Ω) + sup x,y∈Ω,x̸=y |f(x) − f(y)| |x − y| α , f ∈ C 0,α(Ω). 窦芳芳 第三章 Sobolev 空间
如果f有界且连续，则f∈C,a(2),近一步，对某些常数 C>0及所有X,y∈2满足Holder连续性界 lfx)-fy)川≤Cx-ye. 空间C,(2)容易看到仅仅是C(2)(有相同的范数).另外， C,1(2)是Lipschitz函数类，也被记为Lip(2)(C,1范数也被认 为是Lipschitz范数) 4口，4@，4左4生+主分QC 美芳芳 第三章Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 如果 f 有界且连续，则 f ∈ C 0,α(Ω), 近一步，对某些常数 C > 0 及所有 x, y ∈ Ω 满足 Hölder 连续性界 |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y| α . 空间 C 0,0 (Ω) 容易看到仅仅是 C 0 (Ω) (有相同的范数). 另外, C 0,1 (Ω) 是 Lipschitz 函数类, 也被记为 Lip(Ω) ( C 0,1 范数也被认 为是 Lipschitz 范数). 窦芳芳 第三章 Sobolev 空间
命题1.1 对每一0≤a≤1，C,a(2)为Banach空间. 命题1.2 对任意0≤a≤B≤1，C,a(2)C,8(①)，且该嵌入连续. 命题1.3 如果a>1,则函数f的C,a(2)范数有限当且仅当f是常值的. 命题1.3解释了为什么一般情况下限制Hǒlder指标a小于 等于1. 4口，4+4左，4生+2分Q0 实芳芳 第三幸Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 命题 1.1 对每一 0 ≤ α ≤ 1，C 0,α(Ω) 为 Banach 空间. 命题 1.2 对任意 0 ≤ α ≤ β ≤ 1，C 0,α(Ω) ⊃ C 0,β(Ω), 且该嵌入连续. 命题 1.3 如果 α > 1, 则函数 f 的 C 0,α(Ω) 范数有限当且仅当 f 是常值的. 命题 1.3 解释了为什么一般情况下限制 Hölder 指标 α 小于 等于 1. 窦芳芳 第三章 Sobolev 空间