点集拓扑学教案 为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》 课程。 按熊金城《点集拓扑讲义》（第三版，北京：高等教育出版社，2003）第一至七 章编写的教案。 本科生授课64学时，教学内容与进度安排如下： 章 本科生授课主要内容 课时数 备注 节 拓扑学的起源 1 朴素集合论 集合、映射与关系 .1 1 无限集 1 2 拓扑空间与连续映射 21 习题课时2 2 度量空间与连续映射 不讲附录 .1 2 拓扑空间与连续映射 3 .2 2 邻域与邻域系 2 3 不讲定理2.3.3 导集、闭集、闭包内部、边界 % 4 不讲例2.4.4，定理2.4.8 2 内部、边界 3 .5 2 部分证明定理2.6.3，临域基 基与子基 2 6 及相关内容在5.1中介绍 2 拓扑空间中的序列 2 .7 国 子空间、有限积空间、商空间 6 习题课时1 3 子空间 2 .1 3 积空间 2 .2 1
1 点集拓扑学教案 为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》 课程。 按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版, 北京: 高等教育出版社, 2003)第一至七 章编写的教案。 本科生授课 64学时，教学内容与进度安排如下： 章 节 本科生授课主要内容 课时数 备注 拓扑学的起源 1 一 朴素集合论 2 1 .1 集合、映射与关系 1 1 .2 无限集 1 二 拓扑空间与连续映射 21 习题课时 2 2 .1 度量空间与连续映射 3 不讲附录 2 .2 拓扑空间与连续映射 3 2 .3 邻域与邻域系 2 不讲定理 2.3.3 2 .4 导集、闭集、闭包内部、边界 3 不讲例 2.4.4, 定理 2.4.8 2 .5 内部、边界 2 2 .6 基与子基 2 部分证明定理2.6.3，临域基 及相关内容在5.1中介绍 2 .7 拓扑空间中的序列 2 三 子空间、有限积空间、商空间 6 习题课时1 3 .1 子空间 2 3 .2 积空间 2
3 商空间 例3.3.3起不讲 3 四 连通性 习题课时1 连通空间 2 .1 4 连通性的某些简单应用 1 .2 4 连通分支 .3 4 局部连通空间 .4 道路连通空间 道路连通分支不讲 .5 7 五 有关可数性的公理 6 习题课时1 5 第一与第二可数性公理 2 .1 5 可分空间 1.5 .2 定理5.2.1不讲 5 Lindeloff空间 1.5 .3 六 分离性公理 8 习题课时1.5 6 T,I、Hausdorff空间 2 .1 正则、正规、T,工4空间 1.5 .2 例6.2.2讲部分 Urysohn引理和Tietze扩张定 不讲定理6.3.1,6.3.4的 1 3 理 证明 完全正则空间，Tychonoff空间 .4 6 分离性公理与子空间、积空间和 1 .5 商空间 6 可度量化空间 定理6.6.1讲部分 .6 七 紧致性 10 习题课时1 7 紧致性 3 定理7.1.6讲部分 .1 2
2 3 .3 商空间 1 例3.3.3起不讲 四 连通性 8 习题课时1 4 .1 连通空间 2 4 .2 连通性的某些简单应用 1 4 .3 连通分支 1 4 .4 局部连通空间 2 4 .5 道路连通空间 1 道路连通分支不讲 五 有关可数性的公理 6 习题课时1 5 .1 第一与第二可数性公理 2 5 .2 可分空间 1.5 定理 5.2.1 不讲 5 .3 Lindeloff空间 1.5 六 分离性公理 8 习题课时1.5 6 .1 0 1 T ,T 、Hausdorff 空间 2 6 .2 正则、正规、 3 4 T ,T 空间 1.5 例 6.2.2 讲部分 6 .3 Urysohn 引理和 Tietze 扩张定 理 1 不讲定理 6.3.1, 6.3.4 的 证明 6 .4 完全正则空间, Tychonoff 空间 1 6 .5 分离性公理与子空间、积空间和 商空间 1 6 .6 可度量化空间 1 定理 6.6.1 讲部分 七 紧致性 10 习题课时1 7 .1 紧致性 3 定理 7.1.6 讲部分
紧致性与分离性公理 引理7.3.2用分析中的结论 .2 n维欧氏空间R”中的紧致子集 0.5 .3 几种紧致性以及其间的关系 1.5 7 度量空间中的紧致性 .5 局部紧致空间，仿紧致空间 1 定理7.6.8不讲 .6
3 7 .2 紧致性与分离性公理 1 引理 7.3.2 用分析中的结论 7 .3 n 维欧氏空间 n R 中的紧致子集 0.5 7 .4 几种紧致性以及其间的关系 1.5 7 .5 度量空间中的紧致性 1 7 .6 局部紧致空间, 仿紧致空间 1 定理 7.6.8 不讲
第一章朴素集合论 点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学General Topology),它的起源与出发点都 是集合论.作为基本的点集拓扑学知识，所需的只是一些朴素集合论的预备知识.本章介绍本 书中要用到的一些集合论内容，主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选 择公理等.作为一教材，讲义对各部分内容均有较系统的论述，作为授课，我们只强调一些基 本内容，而对已有过了解的知识不提或少提 记号：乙，Z+,R,Q分别表示整数集，正整数集，实数集和有理数集 教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理 一.集合的运算 幂集P(X),交n、并U、差-（补，余A,A) 运算律：De Morgan律：(I)A-(BUC)=(A-B)⌒(A-C) (2)A-(BC)=(A-B)(A-C)A-(Bn C)=(A-B)U(A-C) 利用集合的包含关系证明(1) 类似可定义任意有限个集的交或并，如记 AUA,U.UA=(4UUA)UA。=UA,=U4A.规定0个集之并是 中，不用0个集之交 二关系 R是集合X的一个关系，即RCX×X,(x,y)∈R记为xRy,称x与y是R相关的 R称为自反的，若X∈X,xRx R称为对称的，若xRy,则yRx R称为传递的，若xRy,yRz,则xRz 等价关系：自反、对称、传递的关系」 如，△(X={(Xx)x∈X,恒同关系，它是等价关系，{Xy)川xy∈R,x<y},小于关系， 它是传递的，但不是对称的、不是自反的 设R是X上等价关系，X∈X,x的R等价类或等价类[x內R或x为y∈X|xRy}, [☒R的元称为[內R的代表元；商集XR={[R|x∈X 定理1.4.1设R是非空集合X的等价关系，则
4 第一章 朴素集合论 点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology), 它的起源与出发点都 是 集合论. 作为基本的点集拓扑学知识, 所需的只是一些朴素集合论的预备知识. 本章介绍本 书中 要用到的一些集合论内容, 主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选 择公理等. 作为一教材, 讲义对各部分内容均有较系统的论述 , 作为授课, 我们只强调一些基 本内容, 而对 已有过了解的知识不提或少提. 记号: Z, Z+, R, Q 分别表示整数集, 正整数集, 实数集和有理数集. 教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理 一. 集合的运算 幂集 P (X ), 交∩ 、并∪、差－(补, 余 / A , A c ). 运算律: De Morgan 律: (1) A -(B C) = (A - B) (A -C). (2) A -(B C) = (A - B) (A -C) A-(B∩ C)=(A-B)∪(A-C) 利用集合的包含关系证明(1). 类似可定义任意有限个集的交或并, 如记 i n n i A A An A An An Ai Ai = = − = = 1 1 2 1 1 ... ( ... ) Ai. 规定 0 个集之并是 , 不用 0 个集之交. 二. 关系 R 是集合 X 的一个关系, 即 R X X ,(x, y) R 记为 xRy , 称 x 与 y 是 R 相关的. R 称为自反的, 若 x X , xRx; R 称为对称的, 若 xRy, 则 yRx; R 称为传递的, 若 xRy, yRz, 则 xRz. 等价关系: 自反、对称、传递的关系. 如, Δ(X)={(x, x )|x X}, 恒同关系, 它是等价关系; {(x, y) | x, y R, x y}，小于关系, 它是传递 的, 但不是对称的、不是自反的. 设 R 是 X 上等价关系, x X , x 的 R 等价类或等价类 R [x] 或[x]为 {y X| xRy} , R [x] 的元称为 R [x] 的代表元; 商集 X/R = {[x]R | x X} . 定理 1.4.1 设 R 是非空集合 X 的等价关系, 则
(I)x∈XX∈[☒R; (2)Xy∈X,或者xR=y]R,或者[內R∩yR=中 证(2).设z∈內R∩)R,则ZR,z乃，于是[NRC]R且內R一R,于是 [☒R=yR 三.映射 函数：f:X→Y 像：AcX,f(A)={f(x)川x∈A: 原像：HBcY,f(B)={x∈Xf(x)∈B) 满射、单射、一一映射（双射）、可逆映射、常值映射、恒同映射ix、限制4、扩张、内 射iy4A→X 集合X,i≤n,笛卡儿积 X×X2×.×Xn=∏snX,=X,={《x,x2xnx∈X,i≤m到第i个坐标集X, 的投射p,:X→X,定义为p(x)=x,其中x=(x1,,xn) 对等价关系R,集合X到商集XIR的自然投射p:X→X/R定义为p(x)=[x]R 四.集族 数列xn}={xn}n2,有标集族{A,}yer,指标集「，与{A,y∈t}不同，可记有标集族 A={A,}A;类似地，定义其并U,A:(或UA)、交∩e,A:(或nA,不定义0个集的交.与 有限集族有相同的运算律，如De Morgan律 A-U4,=∩(4-A,)bA-∩e,4=U,eA, 映射对应的集族性质：fU,A,)=UE,f(A,)bf(∩e,A,)=∩e,f(4,), f-UB,)=U,-(B,bf-(∩B,)=∩ef-(B,) 五.无限集 通过一一映射来确定两集合的个数的多少 有限集(p或与某{1,2，…，}有一一映射)，无限集，可数集（φ或存在X到Z+的单射），不可 数集 易验证：有限集是可数集，可数集的子集是可数集，可数集的映像是可数集， 定理1.7.3X是可数集台X是Z+的映像 5
5 (1) R x X, x [x] ; (2) x, y X ，或者[x]R =[y]R , 或者 [x]R [y]R = 证(2). 设 R R z[x] [y] , 则 ZRx,zRy , 于是 R R [x] [y] 且 R R [x] [y] , 于是 R R [x] = [y] . 三. 映射 函数： f : X → Y . 像： A X, f (A) = { f (x) | x A} ； 原像： , ( ) { | ( ) } B Y f −1 B = x X f x B 满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射 X i 、限制 A f | 、扩张、内 射 iX |A:A → X 集合 Xi ,i n , 笛卡儿积 = = = = n i i n i i i n X X Xn Xi X x x x x X i n 1 1 2 1 1 2 ... {( , ... ) , } 到第 i 个坐标集 Xi 的投射 pi X → Xi : 定义为 i p(x) =x , 其中 ( ,.., ) 1 n x = x x . 对等价关系 R, 集合 X 到商集 X / R 的自然投射 p : X → X / R 定义为 R p(x) = [x] . 四. 集族 数列 + n = n n Z {x } {x } , 有标集族 {A } , 指标集 Γ, 与 { } A 不同, 可记有标集族 A = A A { } ; 类似地, 定义其并 A (或∪A)、交 A (或∩ A), 不定义 0 个集的交. 与 有限集族有相同的运 算律, 如 De Morgan 律 A − A = (A − A ), A − A = A , 映射对应的集族性质: f ( A ) = f (A ), f ( A ) = f (A ) , − − − − ( ) = ( ), ( ) = ( ) 1 1 1 1 f B f B f B f B 五. 无限集 通过一一映射来确定两集合的个数的多少. 有限集( 或与某{1, 2, … , n}有一一映射), 无限集, 可数集( 或存在 X 到 Z+的单射),不可 数集. 易验证: 有限集是可数集, 可数集的子集是可数集, 可数集的映像是可数集. 定理 1.7.3 X 是可数集 X 是 Z+的映像