§3.3 Cauchy和分公式 设f(z)在单连域D内解析,o∈D,则函数 f( 在处不解析。由复合闭路定理,设C z-20 是以为中心,δ为半径的正向圆周,则对任 意的6>0,积分重 dz取相同的积分值。 若让60,则z→2o,形式地有 如→4净 dz =f(3o)2πi
§3.3 Cauchy积分公式 设 f (z)在单连域D内解析, 0 z D , 则函数 ( ) 0 f z z z − 在 z0 处不解析。由复合闭路定理,设C 0 是以 z 为中心, 为半径的正向圆周,则对任 意的 0, ( ) 0 d C f z z z z − 积分 取相同的积分值。 若让 → 0, 0 则 z z → , 形式地有 ( ) 0 d c f z z z z − ( 0 ) 0 d c f z z z z → − ( 0 ) 0 1 d c f z z z z = − = f z( 0 ) 2πi
来 一、村西积分公式 定理3.7设f()在区域D内处处解析,C为D内的 任何一条正向简单曲线,它的内部完全含于D, 为C内的任一点,则: e-a (3.3.1) 证明由于f(②在z连续,任意 给定8>0,必存在一个6>0, 当2-0<δ时,有 f(z)-f(o)<ε 现以z为中心,R为半径作圆周K:2-o=R,使其 全部包含在C的内部,且R<δ,则有
D 0 0 1 ( ) ( ) d (3.3.1) 2πi ( ) C f z f z z z z = − 一 、柯西积分公式 定理3.7 设 f (z)在区域D内处处解析,C为D内的 任何一条正向简单曲线,它的内部完全含于D, z0为C内的任一点,则: 证明 K 0 z R z 由于 f (z)在z0 连续, 给定 0, 任意 必存在一个 0, 当 0 z z − 时,有 f z f z ( ) − ( 0 ) 现以z0为中心, 0 R 为半径作圆周K:z z R − = , 全部包含在C的内部, 使其 且 R , 则有 C
米 9f7③+f.日e 2-20 =2i/()+f.0e-f4 2-20 而 29e4 <R-2w 由ε的任意性,有 )-f dz 0 z-20 所以 重/回=2e)
( ) ( ) 0 0 d d c K f z f z z z z z z z = − − ( ) ( ) ( 0 ) 0 0 2πi d K f z f z f z z z z − = + − ( 0 0 ) ( ) ( ) 0 0 d d K K f z f z f z z z z z z z − = + − − ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 0 0 d d K K f z f z f z f z z s z z z z − − − − 2 K ds R = 而 ( ) ( 0 ) 0 d 0 K f z f z z z z − = − 所以 ( ) 0 0 d 2πi ( ) c f z z f z z z = − 由 的任意性,有
米 说明 设区域D是简单闭曲线C的内部,f(z)在 D内解析,在闭区域D=D+C上连续, 则Cauchy积分公式(3.3.1)仍然成立。 ② 上述简单闭曲线可以是一个复合闭路, 即D不必是单连域。 3 Cauchyi积分公式(3.3.1)表明,解析函数 f(2)在C内部任意一点的值,完全由它 在其边界上的值所确定
说明 ① 设区域D是简单闭曲线C的内部,f (z)在 D内解析,在闭区域 D D C = + 上连续, 则Cauchy积分公式(3.3.1)仍然成立。 ② 即D不必是单连域。 上述简单闭曲线可以是一个复合闭路, ③ Cauchy积分公式(3.3.1)表明,解析函数 f (z)在C内部任意一点的值, 在其边界上的值所确定。 完全由它
米 例1计第称分1=小e-1e-2 dz 其中: 1)C是正向圆周|z=1/2 2)c是正向圆周z-1=1/4 3)C是正向圆周z=3 解:1)I=0(Cauchy7积分定理) 2)1=④n(e-1e-2 dz 1 -2)d=2元i1 =-2πi -2
例1 计算积分 d ( 1)( 2) C z I z z = − − 其中: 1)C是正向圆周 | z|=1 2 2)C是正向圆周 | z −1|=1 4 3)C是正向圆周 | z|= 3 解:1) I = 0 (Cauchy积分定理) 2) | 1| 1 4 1 d z ( 1)( 2) I z − = z z = − − | 1| 1 4 1 ( 2) d z 1 z z − = z − = − 1 1 2πi 2πi 2 z z = = = − −