新疆大学：《工程力学》课程教学资源（习题指导）第7章 弹性杆件横截面上的正应力分析

第7章弹性杆件横截面上的正应力分析 面的正受力际示，其上所有杆模截面均为20mmX0m的矩形，试杆CEDE 解：图(a)中，c0s- (1) 截面法受力图(a) ΣM=0,Fa×4-05+5)×3=0(2) E150Es0=40 (3) (1)代入(3.得FaE=50kN 15x103 号-02k0as-15MP aDE-FoE-50 MPa 习题7从图 7一2图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度方=1OkNm,在白由端D 处作用有集中呼斤=20kN。已知杆的横截面面积A=20×10m,=4m。试求： 的大并指明其作用位置 F(N 解：由已知，用截面法求得 Do-子·81e-20Mr 40×103 -100 MPa E-5￥=150Ma (l y (2)m=4=200MP(截面) 习题72图 7一3图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸找荷F通过两端的刚性板加在杆上。试： E4.=Ed (1) Fy +F =Fi (2) K“A+4 E Fp 母+60- E,F。 g+g,0-的 习73图 4 4×105x10°×171×103 2.,"105X10xax02s+20×10Xx006-0025-835MPma ,ag-35x0-56M 7-4 -58

— 58 — 习题 7-1 图 15kN 15kN 5kN  5kN  FDE C D 4m 3m FCE (a) 习题 7-2 图 C B D A E 30 20 40 (kN) FNx (a) 习题 7-3 图 第 7 章 弹性杆件横截面上的正应力分析 7－1 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为 20mm×50mm 的矩形。试求杆 CE 和杆 DE 横 截面上的正应力。 解：图（a）中， 5 4 cos = （1） 截面法受力图（a）  MD = 0 ， FCE 4 − (15+ 5)3 = 0 （2） FCE = 15 kN  Fx = 0 ， FDE cos = 40 （3） （1）代入（3），得 FDE = 50 kN ∴ 15 0.02 0.05 15 103 =   = = A FCE  CE MPa = = 50 A FDE  DE MPa 7－2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度 p = 10kN/m，在自由端 D 处作用有集中呼 FP = 20 kN。已知杆的横截面面积 A = 2.0×10-4m 2，l = 4m。试求： 1．A、B、E 截面上的正应力； 2．杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。 解：由已知，用截面法求得 FNA = 40 kN FNB = 20 kN FNE = 30 kN （1） 200 2.0 10 40 10 4 3 N =   = = − A F A  A MPa 100 N = = A F B  B MPa 150 N = = A F E  E MPa （2）  max = A = 200 MPa（A 截面） 7－3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷 FP通过两端的刚性板加在杆上。试： 1．写出杆横截面上的正应力与 FP、d、D、Ec、Ea 的关系式； 2．若已知 d = 25mm，D = 60mm；铜和铝的单性模量分别为 Ec = 105GPa 和 Ea = 70GPa，FP = 171 kN。 试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。 解：1．变形谐调： a a Na c c Nc E A F E A F = （1） FNc + FNa = FP （2） P c c a a c c Nc F E A E A E A F + = P c c a a a a Na F E A E A E A F + = ∴          − + = =  +  − = + = = 4 π( ) 4 π ( ) 4 π 4 π 2 2 a 2 c a P a Na a 2 2 a 2 c P c c a a c P c Nc c D d E d E E F A F E D d d E E F E A E A E F A F c   2． 83.5 105 10 π 0.025 70 10 π (0.06 0.025) 4 105 10 171 10 9 2 9 2 2 9 3 c =    +    −      = MPa 55.6 105 70 83.5 c a a = c =  = E E   MPa 7－4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷 FP通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试： 1．导出复合材料柱横截面上正应力与 FP、b0、b1、h 和 Ea、Es之间的关系式；

拔面子的任资N:=0Ga,&=20GP=30am,=20mh=50am,求铝板与锅版候 解：变形谐调： FNs +FN=F (2) 习题74图 300×09385×103 2.6-03x05x2090*2020050x10-75M(压) G,=-175=-17570=61.25MPa(压) 2.曲率半径尽可能大 解：1.=是=0 恶-6-0 三三 =2-62- “=反（正应力尽可能小） 习75图 2面 1M. 兽=0，得- 62=d2-2=d ·么=5（曲米半径尽可能大） 解：答，用号 0兴 4=1-2-空-2%- 习题76国 -59

— 59 — 习题 7-4 图 习题 7-5 图 习题 7-6 图 2．已知 FP = 385kN；Ea = 70GPa，Es = 200GPa；b0 = 30mm，b1 = 20mm，h = 50mm。求铝板与钢板横 截面上的最大正应力。 解：变形谐调： a a Na s s Ns E A F E A F = （1） FNs + FNa = FP （2）        + = + = P s s a a a a Na P s s a a s s Ns F E A E A E A F F E A E A E A F 1． 0 s 1 a s P s 0 a 1 s P s Ns s 2 b hE 2b hE E F E b h E b h E F A F + = +  = −  = 0 s 1 a a P a Na a b hE 2b hE E F A F + = − −  = 2． 175 0.03 0.05 200 10 2 0.02 0.05 70 10 200 0 385 10 9 9 9 3 s = −    +     −     = MPa（压） 61.25 200 70 175 175 s a a = − = − − = E E  MPa（压） 7－5 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下 h 与 b 的比值： 1．横截面上的最大正应力尽可能小； 2．曲率半径尽可能大。 解：1． ( ) 6 6 2 2 2 b d b M bh M W M z z z z −  = = = ( ) 3 0 d d d d 2 3 2 2 = bd − b = d − b = b b Wz d 3 3 b = 2 2 2 2 3 2 h = d − b = d ∴ = 2 b h （正应力尽可能小） 2． z z z EI M =  1 12 12 3 2 2 3 bh d h h I z − = = 0 d d = h I z ，得 2 2 4 3 h = d 2 2 2 2 4 1 b = d − h = d ∴ = 3 b h （曲率半径尽可能大） 7－6 梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如图所示。梁在两端力偶 Mz作用下发生弯曲。设正方形 截面时，梁内最大正应力为  0 ；去掉上、下角后，最大正应力变为  max  0 = k ，试求： 1．k 值与 h 值之间的关系； 2． max 为尽可能小的 h 值，以及这种情形下的 k 值。 解： 3 4 0 0 h I zh = ， 3 3 0 0 h Wz = 3 0 0 0max 3 0 h M W M z z z  =  = = y h y y h I I I h h zh zh z 2 2 ( )d 3 2 0 2 4 0 0 0 0 = − = − − 

一答-含优-的+代-的-音2-n写A-创 0-0-w M: 3 。写%-3-动A-功④ k-可ma= 00-0 d h-3动)=0，A=0(舍去).h=o 入-3含4-高4：方ag =20kN -4[”x006+Cyx0o购 -[6+-小0 -8062-） =-143×103=-143kw 习7-7图 20 食定在菜的飘获智套雷方尚亮装，存在距新限的9面内发生平面弯自、且不超出养性范围， 1.导出，=,0)的表达式 2.证明：，mx一x,p为中性面的曲率半径 人 解：1先求0，表达式 Σ万，=信a,lp,dp:csp+2o,smgl=0 习题78 甲%号号兰m0,0兰 即2，m号-2兰m号02-=0 2由a式令号=0，得y=0则 -60

— 60 — 习题 7-7 图 习题 7-8 图 O' y 2−  d 2 O 2 x  x  x  y (a) ) 3 4 ( 3 4 ( ) ( ) 3 4 3 0 3 4 3 0 4 4 0 3 3 0 0 4 0 h h h h h h h h h h h h = − − + − = − = − ) 3 4 ( 0 2 max max h h h M W M z h z h −  =  = = (4 3 ) ) 3 4 ) 3 ( 3 4 ( 3 0 2 3 0 0 2 3 0 0 2 3 0 0 max h h h h h h h h h h h h k − = − = − = =   （1） 2 3 0 3 4 d )) 3 4 d( ( d d 2 0 0 2 =  − = − = h h h h h h h h Wh 3 ) 0 3 8 ( h h0 − h = ，h = 0（舍去）， 0 9 8 h = h 代入（1）： 0.9492 64 (12 8) 81 3 ) 3 8 ) (4 9 8 ( 1 ) 9 8 ) (4 3 9 8 ( 2 0 0 2 0 3 0 =  −  = − = −  = h h h h k 7－7 工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受 Mz = 20 kN·m 一个内力分量，Iz = 11.3×106mm4，其 他尺寸如图所示。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿 x 方向的合力。 解：    = = − + − 1 2 2 N d d d A z z A z z x A x y A I M y A I M F  A       = −  +    y y y y I M z z 0.006d 0.088d 0.080 0.07 0.07 0 2 2 2 9 (80 70 ) 10 2 1 70 88 2 1 6 −       = −   +  − z z I M 10 (3 70 44 (80 70 )) 11.3 10 20 10 9 2 2 2 6 3   +  −   = − − − 143 10 143 3 = −  = − kN 2 | | N * z x c M F y = 0.0699m 70mm 2 143 20 * = =  yc = 即上半部分布力系合力大小为 143 kN（压力），作用位置离中心轴 y = 70mm 处，即位于腹板与翼缘交 界处。 7－8 图示矩形截面（b·h）直梁，在弯矩 Mz作用的 Oxy 平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围， 假定在梁的纵截面上有 y 方向正应力  y 存在，且沿梁长均匀分布。试： 1．导出 (y)  y = y 的表达式； 2．证明： max max 4 y x h     − ，  为中性面的曲率半径。 解：1．先求 (y)  y 表达式：  Fy = 0  − −  =     +   = y y y y h x F y 2 2 2 1 d 0 2 1 d cos 2 sin         即 d 0 2 2 sin 2 2 sin 2 = − + − y y I y M h z z y y     ，（ y I M z z  x = − ） 即 ) 0 4 ( 2 1 2 2 sin 2 2 sin 2 2 −  − = h y I M z z y y     ∴ ) 4 ( 2 2 2 y h I M y z z y − − =   （a） 2．由（a）式，令 0 d d = y  y ，得 y = 0，则 - 2  2 

-h24. h M. 1一》图不好管和铝管牢图地粘成复合材料管，在两装力保从作用下发生平面弯鱼。试。 2.已知D=2 d. 和铝管横酸面上的眼大正皮力。 :D=4m:=00Nm:=210GPa,=70GPa.求钢管和铝 解：静力平衡： 立品 (3) 由a)从歌以 (4) 代入得0欲业= 习题79图 (5) 上兰2兴“w-号号 64E.M. 64E.My (Bsys) 36*x10=54.1MP 解：根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化 。沿截面高度直线的斜率不同“中性轴不过截面形心。 50 【,确定中性轴位置。设拉压区高度分别为、k 由工=0,得：-hb+n么b=0 习题710图 即 (1) (2 :友=反-h=414m(中性轴的位置) ∴=(2-5h=58.6mm 2.M.-yod+yod-cu+E-cu+y.2E.cd -61

— 61 — 习题 7-9 图 习题 7-10 图 Ch t   t  C  C (a) ht max 2 ,max 4 4 2 8 4 x z z z y z y z y z y h W h M h I h M I h M       −   −  = − = − = （b） 7－9 图示钢管和铝管牢固地粘成复合材料管，在两端力偶 Mz作用下发生平面弯曲，试： 1．导出管横截面上正应力与 Mz、D1、D2、D3和钢的 Es、铝的 Ea 之间的关系式； 2．已知 D1 = 20mm，D2 = 36mm，D3 = 44mm；Mz = 800N·m；Es = 210GPa，Ea = 70GPa。求钢管和铝 和铝管横截面上的最大正应力  max。 解：静力平衡： Ma + Ms = Mz （1） 变形谐调：  a = s 得 s s s a a a E I M E I M = （2） 64 π( ) 4 2 4 3 a D D I − = ， 64 π( ) 4 1 4 2 s D D I − = （3） 由（2） s s s a a a M E I E I M = （4） 代入（1），得 M M z E I E I + s = s s a a (1 ) s s a a s s s E I E I E I M M z + = （5） ∴ M z E I E I E I M s s a a a a a + = （6） 1． π [ ( ) ( )] 64 4 2 4 a 3 4 1 4 s 2 s s s a a s s s s E D D E D D E M y y E I E I E M y I M z z − + − = − + = − −  = ，（ 2 2 1 D2 y D   ） π [ ( ) ( )] 64 4 2 4 a 3 4 1 4 s 2 a s s a a a a a a E D D E D D E M y y E I E I E M y I M z z − + − = − + = − −  = ，（ 2 2 2 D3 y D   ） 2． 133 π[210 (36 20 ) 70 (44 36 )] 10 64 210 800 18 10 4 4 4 4 12 3 smax =  − +  −      = − −  MPa 54.1 π[210 (36 20 ) 70 (44 36 )] 10 64 70 800 22 10 4 4 4 4 12 3 a max =  − +  −      = − −  MPa 7－10 由塑料制成的直梁，在横截面上只有 Mz作用，如图所示。已知塑料受拉和受压时的弹性模量 分别为 Et和 Ec，且已知 Ec = 2Et；Mz = 600N·m。试求： 1．梁内最大拉、压正应力； 2．中性轴的位置。 解：根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化 ∵ Ec = 2Et， = E ∴  沿截面高度直线的斜率不同 ∴中性轴不过截面形心。 1．确定中性轴位置。设拉压区高度分别为 ht、hc 由  Fx = 0 ，得： 0 2 1 2 1 −  c max hc b +  t max  ht b = 即 c c c t t max cmax h h h h h − = =   （1） 又∵ t c t max cmax t t max c cmax t max cmax 2 2 h h E E = = =       （2） 由（1）、（2），得 c c t c c c 2 2 h h h h h h h h − = = − 即 2 c 2 (h − hc ) = 2h      = − =  = − = (2 2) 58.6mm ( 2 1) 41.4mm t c h h h h （中性轴的位置） 2．       = + = + = +  t c t c t c td cd t td c cd t td 2 t cd A A A A A A M z y A y A yE  A yE  A yE  A y E  A

-4+24-4+24-g4+2) 其中1，+2，-答2x婴-的6-4 + 2x600×414x10 =8.69MPa(压) =6.15MPa(拉) 磊，。素组各中所示的二杆横载面上最大正应力的比位。 (6)为单向拉伸 出丑 习题1.11图 7一12桥墩受力如图所示，试确定下列找荷作用下图示截面BC上A小、B两点的正应力： .仅在点1或点3处承受40kN的压缩载荷。 5 40×10 =40MPa -=-8MPa 2.=2-2x40x0.010x1 -I5.3MPa 习712图 75×200 3.在点1加载： 5x200 4=733MPa, d8 -2.67MP 发面管，首壁厚=5m,管在两端承受轴向我荷小、已知开孔 F处的正 2.177x10m,F=25kN.试球 -62

— 62 — 习题 7-11 图 习题 7-12 图 d 2 d d 2 d ( 2 ) t c t t t c t t c t c I I E A y A y y E y A y A E y A A A A  = +      =  +        = +          其中 (6 4 2) 3 3 2 3 2 3 3 c 3 t t + c = +  = − bh bh bh I I ∴ ( 2 ) 1 t t c E I I M z + =  ∴ c t c c t t c c c c cmax 2 2 2 h I I M h I I M E E h E z z + = + = =   8.69 (6 4 2) 10 3 50 100 2 600 41.4 10 12 3 3 = −      = − − MPa（压） ∴ 6.15 10 (6 4 2) 3 50 100 600 (2 2) 100 10 2 12 3 3 t t c t t t max =  −   −   = + = = − − h I I M h E z   MPa（拉） 7－11 试求图 a、b 中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。 解：（a）为拉弯组合 2 P 2 P P a 3 4 6 ) 2 3 ( 4 2 3 a F a a a F a a F =   +   = （b）为单向拉伸 2 P b a F  = ∴ 3 4 b a =   7－12 桥墩受力如图所示，试确定下列载荷作用下图示截面 ABC 上 A、B 两点的正应力： 1．在点 1、2、3 处均有 40 kN 的压缩载荷； 2．仅在 1、2 两点处各承受 40 kN 的压缩载荷； 3．仅在点 1 或点 3 处承受 40 kN 的压缩载荷。 解： 2.67 200 75 10 40 10 6 3 N =    = − A F x Mpa 40 10 6 75 100 40 10 0.125 9 2 3 =     = W − M z MPa 1． 8 200 75 3 3 40 103 N = −    = = − = A F x  A  B MPa 2． 15.3 6 75 200 2 125 80 10 200 75 2 2 40 10 2 3 3 N = −    −  −   = − − = W M A F x z  A MPa 3．在点 1 加载： 12.67 6 75 200 40 10 125 200 75 40 10 2 3 3 N = −    −  −  − = − = W M A F x z  A MPa 7.33 6 75 200 40 10 125 200 75 40 10 2 3 3 N =    +  −  + = − = W M A F x z  B MPa 由对称性，得 在 3 点加载：  A = 7.33 MPa， B = −12.67 MPa 7－13 图示侧面开有空洞的正方形截面管，管壁厚  = 5mm，管在两端承受轴向载荷 FP。已知开孔 处截面的形心为 C，形心主惯性矩 6 0.177 10− I z =  m 4，Fp = 25kN。试求： 1．开孔处横截面上点 F 处的正应力；