新疆大学：《工程力学》课程教学资源（习题指导）第9章 应力状态分析

第9章应力状态分析 方向的正应力 习题91图 解：(a)平行于木纹方向切应力 Ty=4-1sin2x-15+0c0s2x-15=0.6MPs 垂直于木纹方向正应力 =4+16+4-1.cs2x15+0=-3.84MP (b)切应力 y■-1.25c0s(2x(-15)=-1.08MPa 正应力 习题92图 0635Mp 建动骨会纸种作电亮死层动智列不香资子园限路禁：提 足这一要求。 ：y=2-D,m2x6+05m2x(-609=-15MPg It=1.55MPa>IMPa,不满足， + ·+ 习2图 =9+号c0s(-20)-0=1+9s20 左微元-20=-20

— 78 — 习题 9-1 图 x  -15 x'  x' x' y'  1.25MP a  15 (b-1)  15 4MPa  -15 x' y'   x' x' 1.6MPa x (a-1) 习题 9-2 图 习题 9-2 图  y  x xy  =  y  x xy  = x  y  x xy  = x  30 2MPa 0.5MPa  -60  x' x' (a) x'y'  第 9 章 应力状态分析 9－1 木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求： 1．面内平行于木纹方向的切应力； 2．垂直于木纹方向的正应力。 解：（a）平行于木纹方向切应力 sin(2 ( 15 )) 0 cos(2 ( 15 )) 0.6 2 4 ( 1.6)  −  +   −  = − − −  x  y  = MPa 垂直于木纹方向正应力 cos(2 ( 15 )) 0 3.84 2 4 ( 1.6) 2 4 ( 1.6)  −  + = − − − − + − + −  x  = MPa （b）切应力  x  y  = −1.25cos(2(−15)) = −1.08 MPa 正应力  x  = −(−1.25)sin(2(−15)) = −0.625 MPa 9－2 层合板构件中微元受力如图所示，各层板之间用胶粘接，接 缝方向如图中所示。若已知胶层切应力不得超过 1MPa。试分析是否满 足这一要求。 解： sin(2 ( 60 )) 0.5 cos(2 ( 60 )) 1.55 2 2 ( 1)  −  +   −  = − − − −  x  y  = MPa |  x  y  |= 1.55MPa  1 MPa，不满足。 9－3 结构中某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果。试求叠加后所得应力状态的主应力、面 内最大切应力和该点处的最大切应力。 解： 左微元          −  = −  =  = − = − +  = + − − = 0 0 0 0 0 0 0 2 1 cos 2 2 sin 2 sin( 2 ) 2 2 1 cos 2 cos( 2 ) 0 2 2                 y x xy x

a,-g.+a-3tcs200o 叠加w+029 口，-0，+0-l上29 2 +号ggi4学w 2 1=0 面内最大切应力：a-二2=s0 该点最大切应力：7m一；9_上g9。 左元iw5n2x30-夏0，0-0=-号0=6m2x(-309=号 右微元g-5n2x309-507-0-o2-9,-lm2x00》=-号 叠加,=o+o,=5r。,=o+o;=-50=rw+=0 01=V30,02=0,03=-5r0 面肉1上，0=5r 该点r上，=5r。 a.=0-[0+-0,0-30m2x45y-90Mp 叠加{o,=0+50-30)-10-10MPa b。=nr[-50al-M 拉}-9g兮网-0or40- 90 面内及该点：1Hn上.10-0-0Mp 9一4已知平而应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由表面AB相垂直的面上，其值为。· 试求应力分量a,、G,和t 黑：，=受+受c2x-2+0+c2a=,s'a 0,=0-0,=上cg20=0sm2a sm2x(-a-sim2a

— 79 — x A B  O  O   习题 (a) 9-4 图 A  60 B C  60 −100  x  x yx  xy  92MPa 习题 9-5 图 (a) 叠加          − =  + = = + = − + =  + =   0 0 0 0 2 1 cos 2 0 2 sin 2 0 2 3 cos 2              y y xy x y x x 0 (1 cos ) (1 cos ) ) 2 sin 2 ) 4( 2 1 cos 2 2 3 cos 2 ( 2 1 2 2 1 cos 2 2 3 cos 2 3 0 0 2 0 2 0 2 0 2 1 =    − + = + − − − +  − + + =                   面内最大切应力：      cos 2 0 1 2 max = −  = 该点最大切应力： 0 1 3 max 2 1 cos 2      + = − = 左微元 0 0 2 3   = −( )sin(2(−30)) =  x ， 0 2 3   = 0 −  = −  y x ， 2 cos(2 ( 30 )) 0 0    xy =  −  = 右微元 0 0 2 3   = −( )sin(230) =  x ， 0 2 3   = 0 −  = −  y x ， 2 ( ) cos(2 (30 )) 0 0    xy  = −   = − 叠加 3 0  = + =  x x y ， 3 0  = + = −  y y y ， xy =  xy +  xy  = 0 1 3 0  =  ， 2 = 0， 3 3 0  = −  面内 0 1 3 max 3 2 | |     = −  = 该点 0 1 3 max 3 2 | |     = − = 叠加            =       −  − − = + = + − − = =       −  − − + + − = + sin(2 ( 45 )) 30MPa 2 50 ( 30) 70 0 (50 30) 10 10MPa cos(2 ( 45 )) 90MPa 2 50 ( 30) 2 50 ( 30) 80 x y y x    主应力 0 0MPa 100MPa [90 (100)] 4 30 2 1 2 90 10 2 2 2 3 1 =     − +  = + =       面内及该点： 50 2 100 0 2 | | | | 1 3 max max = − = −  = =     MPa 9－4 已知平面应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由表面 AB 相垂直的面上，其值为  0 。 试求应力分量  x 、 y 和 xy  。 解：       2 0 0 0 cos 2 1 cos 2 cos(2 ( 2)) 0 2 2 = + x = +  − + =        2 0 0 0 sin 2 1 cos 2 = − y = − x =      sin 2 2 sin(2 ( )) 2 0 0 xy =  − = − α α

9一5从构件中取出的微元受力如图所示，其中4C为自由表面（无外力作用）.试求σ，和：， 解：-10=，10,0-a-100.cos2x60 2 a,=-33.3MPa t =-t=-577Mra 9一6构件微元表面4C上作用有数值为14MPa的压应力，其余受力如图所示。试求G,和：，。 解： cos2a=2cos'a-1 2 2F40F407 a,+2414-14,0-o,+92+10-40342=2 习题96图 (al 2 解得,=37.97MP -10-67n42+1山x094=-7425M 9一7受力物体中某一点处的应力状态知图所示（图中p为单位面积上的力）。试求该点处的主应力。 3 习题97图 习愿7解图 3p 解：应力圆半径r一品。-2p 0C=2p+rc0s60°-2p+2p-3p 「a,=OC+r=5p a;=0C-r=p 0,=0 9一8从构件中取出的微元，受力如图所示。试 大切应力作用面位置 140 MPa 120 MPa 习题9.8图 解：l.主应力rn

— 80 — 120 120 70MPa 140 x (a) 习题 9-6 图 14MPa 92MPa B C  x  +92+14 x xy  yx  A (a) 习题 9-7 图 A B 3 p 3 p  60 2p 2 p 习题 9-7 解图 习题 9-8 图  2 D C E O  1   120  (2p,− 3p) (2p, 3p) r (a) 140MPa 90MPa 160MPa( ) 1 36 52'12 o (b) 9－5 从构件中取出的微元受力如图所示，其中 AC 为自由表面（无外力作用）。试求  x 和 xy  。 解： cos(2 60 ) 2 0 ( 100) 2 100 100    − − + − − =  x  x 0.75 x = −25 ∴  x = −33.3 MPa sin(2 60 ) 57.7 2 0 [ 33.3 100]   = − − −  yx = MPa  xy = − yx = −57.7 Mpa 9－6 构件微元表面 AC 上作用有数值为 14MPa 的压应力，其余受力如图所示。试求  x 和 xy  。 解： 0.342 1 1 0.7 0.7 2 cos 2 2cos 1 2 2 2 2 = − −         + =  =  − 0.94 1 0.7 0.7 1 0.7 1 2 sin 2 2sin cos 2 2 2 2 = +  + =  =   ( 0.342) 92 2 ( 14) ( 92 14) 14 2 ( 92 14) 14 − = − − + + − +  x + + −  x 解得  x = 37.97 MPa 0.94 74.25 2 ( 14) (37.97 92 14)  = − − − + +  y x = MPa 9－7 受力物体中某一点处的应力状态如图所示（图中 p 为单位面积上的力）。试求该点处的主应力。 解：应力圆半径 p p r 2 sin 60 3 =  = OC p r p p 3p 2 1 = 2 + cos 60 = 2 + 2 =      = = − = = + = 0 5 3 2 1    OC r p OC r p 9－8 从构件中取出的微元，受力如图所示。试： 1．求主应力和最大切应力； 2．确定主平面和最大切应力作用面位置。 解：1．主应力 max 

合-号miw 02=140MPa 7-,.10-←0.1sMa 2.主平面，作用面位置. o,主平面，=tam(-200)=-36°52'12 2.用主应力表示这一点处的应力状态。 150 MPa 习99图 解：1.-0+,cos2x60°)-t5im2×60y 代入数据100.00,0：0s120-a120 2 =-43.3MPa 0y=a,+a,-0=100+50-100=50MPa y-100,50sin2x60)+(43.3)cos2x60)-43.3MP 2. ，-流定相示发力秋态中的量大正位力经大国应力的年究没。 140 。” 150 (3) (b) =90MPa 、a.20+0±520-40+4x-50 (290MPa 图(b:{22 1-50MPa g3 =-90MPa 81

— 81 — (b) 习题 9-9 图  2 1 x  30 (c) (a) 150 140 300 90 (a-1) 140MPa 240MPa yx  (b-1) 40MPa 200MPa 150 90  8  45 35MPa  1 35MPa 125MPa 7'48'' x (c)      = − = + +  = 140MPa 90MPa 160MPa 70 4 120 2 1 2 70 2 2 2 3 1    125 2 160 ( 90) 2 1 3 max = − − = − =    MPa 2．主平面， max  作用面位置。  1 主平面， ) 36 52 12 70 0 2 120 arctan( 2 1 P = −    −   = − 9－9 一点处的应力状态在两种坐标中的表示方法分别如图 a 和 b 所示。试： 1．确定未知的应力分量 xy  、 x  y  、 y  的大小； 2．用主应力表示这一点处的应力状态。 解：1． cos(2 60 ) sin(2 60 ) 2 2   −   − + +  = x y x y x y x       代入数据  −  − + + = cos120 sin120 2 100 50 2 100 50 100 x y   xy = −43.3 MPa  y  = x + y − x  =100+50−100 = 50 MPa sin(2 60 ) ( 43.3) cos(2 60 ) 43.3 2 100 50   + −   = −  x  y  = MPa 2．      =     − +  − = + = 0MPa 25MPa 125MPa (100 50) 4 ( 43.3) 2 1 2 100 50 3 2 2 2 1    =  −  − = − ) 30 100 50 2 ( 43.3) arctan( 2 1  P 9－10 试确定图示应力状态中的最大正应力和最大切应力。图中应力的单位为 MPa。 习题 9-10 图 解：图（a）：      =     − +  − = + = 90MPa 50MPa 390MPa (300 140) 4 ( 150) 2 1 2 300 140 2 2 2 3 1    170 2 390 50 max = −  = MPa 图（b）：      = −    −  − +  − = + = 90MPa 50MPa 290MPa (200 40) 4 ( 150) 2 1 2 200 40 3 2 2 2 1   

7-5;a.20-0-190Mm 9-11对于图示的应力状态，若要求其中的最大切应力<160MPa,试求,取何值。 解： 当半径r>O0 2240-140)2+45、240+140 2 即1E183.3MPa时 (1D 侣-g4号o 2 52-5m2+4城<10 解得1r<152MP (2) 由2，是然不存在。 7V240-1402+4r5≥240+140 2 即<183,3MPa时 -24010+240-140°+4 3=0 n-2.30+日om244<10解得1，<120MPa 习题912图 所以，取1t|<120MPa 9-12对于图示的应力状态，若要求垂直于y平面的面内最大切应力t≤1S0MPa,试求a,的取值 范 解：应力圆半径r=r'=150MP 1.CD°=1502-802=126.9MPa .t) 0C=-140+126.9=-13.1MP8 0,+140=-13. ,=I3.8MP 2. -140-80 (al ( 0,+140-2669 G,-393.8MPa 情形子不外的的信由方的20角的旋线卷曲焊接雨成。试求下列 承号轴载黄F。=50kN P=50MP(两端封闭)

— 82 — 习题 9-11 图 习题 9-12 图 习题 9-13 图  x 20 x'  y  y x (b)  20  x  x' x' y'   x x' x (a) x'y'  D' D O r  C ( . ) E y yx   (−140. −80) (−140. −80) D r = 150 C D' O   r ( , ) E y yx    (a) (b) r =150 190 2 290 ( 90) 2 1 3 max = − − = − =    MPa 9－11 对于图示的应力状态，若要求其中的最大切应力 max  ＜160MPa，试求 xy  取何值。 解：1．当半径 r＞OC 2 240 140 (240 140) 4 2 1 2 2 + − +  xy  即 | xy | 183.3MPa 时 （1）     − + + = 2 2 3 1 (240 140) 4 2 1 2 240 140 xy    100 4 160 2 1 2 1 3 2 2 max = +  − = xy     解得 | | xy  <152MPa （2） 由（1）、（2）知，显然不存在。 2．当 r＜OC 2 240 140 (240 140) 4 2 1 2 2 + − +  xy  即 | | xy  ＜183.3MPa 时      = + − + + = 0 (240 140) 4 2 1 2 240 140 3 2 2 1    xy 100 4 160 4 1 4 380 2 1 3 2 2 max = + +  − = xy     解得 | | xy  ＜120MPa 所以，取 | | xy  ＜120MPa。 9－12 对于图示的应力状态，若要求垂直于 xy 平面的面内最大切应力    150MPa，试求  y 的取值 范围。 解：应力圆半径 r =  = 150MPa 1． 150 80 126.9 2 2 CD = − = MPa OC = −140+126.9 = −13.1 MPa 13.1 2 ( 140) = −  y + −  y =113.8 MPa 2． CD =126.9 OC = −140−126.9 = −266.9 MPa 266.9 2 ( 140) = −  y + −  y = −393.8 MPa 9－13 图示外径为 300mm 的钢管由厚度为 8mm 的钢带沿 20°角的螺旋线卷曲焊接而成。试求下列 情形下，焊缝上沿焊缝方向的切应力和垂直于焊缝方向的正应力。 1．只承受轴向载荷 FP = 250 kN； 2．只承受内压 p = 5.0MPa（两端封闭） 3．同时承受轴向载荷 FP = 250kN 和内压 p = 5.0MPa（两端封闭）