第8章弹性杆件横截面上的切应力分析 8一扭转切应力公式)=M,1,的应用范有以下几种，试判新哪一种是正确的。 ，弹性范围内加我 ,弹性范围内加载， 正确答案是 解：)=M,P列，在推导时利用了等载面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中 还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范用加现。 2田 (A)m> （B）t1m<t2ms (C)若G1>G2,则有1m>r3n (D)若G>G2,则有1x<t2max。 振等衣。轴衣面上母线转过相同角度指切应变相同，即==了由鹦切胡克定律1=G 8一3承受相问扭矩且长度相等的直径为d山的实心圆轴与内、外径分别为山、D,(a=d2/D)的空心 圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（/）有如下结论，试判断哪一种是正确的。 A）1-32 (B)0-ap1-a2) c31-4-a2 16M 16M di-a) 即是=0-a (1) (2) (1)代入(2)，得 8一4由两种不同材料组成的圆轴，里层和外 冒多尾 相对滑动：关于核裁而上的切力 分布，有图中所 示的四 结是 可断哪一种是正确的。 (A)((C)(D) 解：因内、外层同无相对滑动，所以交界面上切应变相等为=2，因膜2弹。由剪切胡克定律得交 界面上：5=25 (A)(B)(C)(D) 习器85图 8一5等截面圆轴材料的切应力一切应变关系如图中所示.圆轴受扭后，已知横截面上点(P。=d/4) -70
— 70 — 第 8 章 弹性杆件横截面上的切应力分析 8－1 扭转切应力公式 p ( ) M / I = x 的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。 （A）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B）等截面圆轴； （C）等截面圆轴与椭圆轴； （D）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 正确答案是 A 。 解： p ( ) M I = x 在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中 还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。 8－2 两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径 小的轴的横截面上的最大切应力分别为 1max 和 2max ，切变模量分别为 G1 和 G2。试判断下列结论的正确 性。 （A） 1max ＞ 2max ； （B） 1max ＜ 2max ； （C）若 G1＞G2，则有 1max ＞ 2max ； （D）若 G1＞G2，则有 1max ＜ 2max 。 正确答案是 C 。 解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即 = = 1 2 由剪切胡克定律 = G 知 G1 G2 时， 1max 2max 。 8－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为 d1的实心圆轴与内、外径分别为 d2、 ( / ) D2 = d2 D2 的空心 圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W1/W2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A） 4 3 2 (1− ) ； （B） (1 ) (1 ) 4 3 2 2 − − ； （C） (1 )(1 ) 4 2 − − ； （D） (1 ) /(1 ) 4 2 3 2 − − 。 正确答案是 D 。 解：由 1max 2max = 得 π (1 ) 16 π 16 3 4 2 3 1 − = d M d M x x 即 3 1 4 2 1 = (1− ) D d （1） (1 ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 − = = D d A A W W （2） （1）代入（2），得 2 3 2 4 2 1 1 (1 ) − − = W W 8－4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外 层材料的切变模量分别为 G1和 G2，且 G1 = 2G2。 圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无 相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所 示的四种结论，试判断哪一种是正确的。 正确答案是 C 。 解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等 1 2 = ，因 G1 = 2G2 ，由剪切胡克定律得交 界面上： 1 2 2 = 。 8－5 等截面圆轴材料的切应力－切应变关系如图中所示。圆轴受扭后，已知横截面上点 a( d / 4) a = 习题 8-4 图 习题 8-5 图
的切应变。=。，若扭转时截面依然保持平面，则根据图示的一y关系，可以推知横截面上的切应力分 布。试判断 中所示的四种切应力分布哪一种是正确的。 8-6图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T=3N·m。试求： d 习6图 a 解：a-所立≤60x10 16 T560x10×X65x109=3387N·m 16 M 万s0x100x10-号-2w3Nm 16 .T≤Z2=2883N·m=2.88x103N·m 习题各7图 解：由已知长度和质量相等得面积相等： 1+n (2) Th ) 由(2).(3)式 R (4) 由(I)R-R-R -71
— 71 — 习题 8-6 图 的切应变 s = a ，若扭转时截面依然保持平面，则根据图示的 − 关系，可以推知横截面上的切应力分 布。试判断图中所示的四种切应力分布哪一种是正确的。 正确答案是 A 。 8－6 图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩 T = 3kN·m。试求： 1．轴横截面上的最大切应力； 2．轴横截面上半径 r = 15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉 r = 15mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。 解：1． 70.7 π 0.06 3 10 16 16 π 3 3 3 P P 1max = = = = = d T W T W M x MPa 2． 4 2π d 2π d 4 p p 1 0 r I M I M M A x x r A r = = = ∴ 6.25% 16 1 ) 60 15 16 ( 16 32 π 4 2π 4 2π 4 4 4 4 4 p 4 = = = = = = d r d r I r M M x r 3． − = = 4 3 p 2max ) 2 1 1 ( 16 π d T W M x 6.67% 15 1 ) 2 1 1 ( ) 2 1 ( 1 4 4 4 4 1max 2max 1max = = − = − = − = 8－7 图示芯轴 AB 与轴套 CD 的轴线重合，二者在 B、C 处连成一体；在 D 处无接触。已知芯轴直径 d = 66mm；轴套的外径 D = 80mm，壁厚 = 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过 60MPa。 试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩 T。 解： 6 3 1 p1 max 60 10 16 π = = d T W M x 轴 10 3387 16 π 66 60 10 9 3 6 1 = − T N·m 6 4 3 2 p2 max 60 10 ) 80 68 1 ( 16 π − = = d T W M x 套 ) 2883 20 17 10 1 ( 16 π 80 60 10 9 4 3 6 2 = − − T N·m ∴ Tmax T2 = 2883 N·m 3 = 2.8810 N·m 8－8 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为 R0，空心圆轴的 内、外半径分别为 R1和 R2，且 R1/R2 = n，二者所承受的外扭转力偶矩分别为 Ts和 Th。若二者横截面上的 最大切应力相等，试证明： 2 2 h s 1 1 n n T T + − = 解：由已知长度和质量相等得面积相等： π π( ) 2 1 2 2 2 R0 = R − R （1） 2 π 16 π 3 0 s 3 s max R T d T = = （2） (1 ) 16 π(2 ) 4 3 2 h max n R T − = （3） 由（2）、（3）式 (1 ) 3 4 2 3 0 h s R n R T T − = （4） 由（1） 2 1 2 2 2 R0 = R − R 习题 8-7 图 TS TS 2R hT R2 R1 Th
代入(4) - R1-） -m21+n2)1+m 8一9图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D、壁厚均为6，横截面上的扭矩均为T=M, 1.证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力 2,证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力 8'xD 3。画出两种情形下，切应力沿壁方向的分布。 (b 解：1.M=∫3d4=气D6 2.由课本(8-18)式 (b) 400 02467035x1D=190M 400 习愿810图 智路大股6以 解：a-≤60x10 16 16T 6x30-294m d≥标x60x0-6ax0 420208×60x1 300 -=0.02886m=28.9mm 300 -=0.02166m=21.66mm
— 72 — 代入（4） ∴ 2 2 2 2 2 3 2 4 2 3 2 3 4 2 2 3 2 1 2 2 h s 1 1 (1 )(1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) ( ) n n n n n n n R n R R T T + − = − + − = − − = − − = 8－9 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为 D、壁厚均为 ，横截面上的扭矩均为 T = Mx。 试： 1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力 max 2 π 2 D M x 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力 D M x π 3 max 2 3．画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。 解：1． D D A D M A x π 2 d 2 = = ∴ 2 8π 2 D M x = 即： max 2 π 2 D M x = 2．由课本（8－18）式 D M D M hb M x x x π 3 π 2 3 max 2 2 2 = = = 8－10 矩形和正方形截面杆下端固定，上端承受外扭转力偶 作用，如图所示。若已知 T = 400N·m，试分别确定二杆横截面 上的最大切应力。 解： 15.4 0.208 50 50 10 400 2 2 9 1 a max = = = − c hb M x MPa 19.0 0.246 70 35 10 400 2 2 9 1 bmax = = = − c hb M x MPa 8－11 图示三杆受相同的外扭转力偶作用。已知 T = 30N·m，且最大切应力均不能超过 60MPa。试 确定杆的横截面尺寸；若三者长度相等，试比较三者的重量。 解： 6 max 3 a 60 10 16 π = d M x 29.4 60π 10 16 300 π 60 10 16 3 6 3 6 a = = T d mm 6 3 b 3 1 b 2 1 a max 60 10 0.208 = = = d M c d M c hb M x x x 0.02886m 28.9 0.208 60 10 300 3 6 b = = d mm 6 3 c 2 1 cmax 60 10 0.246 2 300 = = c hb d M x 0.02166m 21.66 2 0.246 60 10 300 3 6 c = = d mm 三者长度相同，重量之比即为面积之比。 ) 0.816 0.02886 0.02942 ( 4 4 π π 2 2 b 2 a b a = = = d d A A 习题 8-9 图 (a) (b) 习题 8-10 图 习题 8-11 图
任香外酒T及时，将南与凸台在一起，然后每去外为配定凸台不变形 分析 管的上有没有内力.三者如何平衡： 且0G (1) 管 T撤清后，管受相对扭转角 则轴受相对扭转角 习12图 +吗=% (2) MI M 3) M,= (4) 12 (6) M T To T D (6) n-号-erx10-=8495x10 6 将1、值代入(6)得 73.6×5x103 管：thn= 683995+393922x10=638MPm 736×2×393922×10 轴：-兰g0g3495+2845xI0E=21肠MP: 变模量G,=8OGPa。试求钢芯横截而上的最大切应力xmas。 解：复合材料圆轴交界面上剪应变相同X,=了=y(r=15mm) M,=Grlay 六n形。- 习型813图 答：小圆变形成椭圆，由切应力引起 小方程为：x+y=R,R为小量 -73
— 73 — 习题 8-12 图 0 2 1 (a) ) 0.724 0.02166 0.02942 ( 8 π ( ) 8 π 2 4 π 2 2 c a 2 c 2 a c a = = = = d d d d A A ∴ Aa : Ab : Ac =1: 0.816 : 0.724 8－12 直径 d = 25mm 的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径 D = 75mm、壁厚 =1.25mm 的薄壁管， 当杆承受外扭转力遇矩 T = 73.6N·m 时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形， 薄壁管与轴的材料相同，切变模量 G = 40MPa。试： 1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。 解：设轴受 T = 73.6N·m 时，相对扭转角为 0 且 p1 0 d d GI T x = （1） T 撤消后，管受相对扭转角 2 ，则轴受相对扭转角 1 =0 −2 ，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统 平衡。 1 +2 =0 （2） p1 p1 GIp 2 M l GI M l GI Tl x x = + （3） Mx Mx = （4） ∴ T I I I M x p1 p2 p2 + = （5） p2 p1 p2 2 p2 p2 p1 p2 h max D I I T W T I I T W Mx + = + = = （6） 4 12 12 4 p1 (25) 10 38349.5 10 32 π 32 π − − = = = d I 4 12 12 4 4 4 p2 ) 10 393922 10 75 72.5 1 ( 32 π 75 ) 2 1 ( 32 π − − = − = − = − D D D I m 4 将 Ip1、Ip2 值代入（6）得 管： 6.38 (38349.5 393922) 10 10 2 75 73.6 12 3 h max = + = − − MPa 轴： 21.86 (38349.5 393922) 38349.5 10 393922 10 2 25 73.6 2 d 2 ( ) d 12 3 p1 p1 p 2 p2 p1 smax = + = + = = − − I I I I T I M x MPa 8－13 由钢芯（直径 30mm）和铝壳（外径 40mm、内径 30mm）组成的复合材料圆轴，一端固定， 另一端承受外加力偶，如图所示。已知铝壳中的最大切应力 a max = 60 MPa，切变模量 Ga = 27GPa，钢的切 变模量 Gs = 80GPa。试求钢芯横截面上的最大切应力 smax 。 解：复合材料圆轴交界面上剪应变相同 = = s a （r = 15mm） pa a a max W M = a a pa a a ( ) r G I M r = = r G I M a pa a a = ∴ r G I W a pa a a max pa = 133 27 20 80 60 15 ( ) a s a max a pa s a max pa s s s a ps s smax = = = = = = = G R G r G I G W r G G W M r MPa 8－14 若在圆轴表面上画一小圆，试分析圆轴受扭后小圆将变成什么形状？使小圆产生如此变形的是 什么应力？ 答：小圆变形成椭圆，由切应力引起。 小圆方程为： 2 2 2 x + y = R ，R 为小量 习题 8-13 图 r R
小圆上一点4工，： 当圆轴扭转时，A无水平位移，所以x=x(平面假设) A垂直位移：=(d+品 44x,) y=y*=y+d+对品 y=y'-(d+刘是 将坐标代入：(-d+品=R 0+0x+aw++2r+yg-=0 2 二次项系数：42 8一15关于弯曲切应力公式x=FS”《1)应用于实心截面的条件，有下列论述，试分析哪一种是正 确的」 A)细长梁。横面保持平 (C)切应力沿截而宽度 应力沿截面宽度均匀分布 均匀分布，横截而保持平面： ,弹性范加载，横截面保持平面。 解：公式：=6,)推导时应用了局部截而的正应力合成的轴力，该正应力，则要求弯曲正应力 公式成立：另外推 8面保持平面 《巴不先用条件 (D)切应力互等定理。 正确答 相形截面悬臂梁加找如图示，图中C为形心，0为弯曲中心，并干白由端棕面位移右下列结论 试判新哪一种是正确的 针方向转动 D) 下 力且绕点O顺时针方向转动 确整等，受力如图所示关天截面4的移有以下 习愿817 论述 分移且绕点O转动 (B)下移且绕点C转动 正确答案下列图示的切应力流方向哪一个是正确的 正确答是A 1思8-19图
— 74 — (a) (b) (c) (d) 习题 8-19 图 2l x y d A(x, y) A(x, y) 小圆上一点 A(x, y) ， 当圆轴扭转时，A 无水平位移，所以 x = x （平面假设） A 垂直位移： L v d x 2 ( ) = + L y y v y d x 2 ( ) = + = + + ∴ L y y d x 2 ( ) = − + 将坐标代入： 2 2 2 2 ( ) ( ) R L x y d x = + − + ) 0 4 ( 2 ) 2 4 ) ( ) 2( 2 )( ) 2( 4 (1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + − R = L d y L d x L d x y y L x L 二次项系数： 0 1 2 4 2 1 2 2 2 + = L L L ，所以为椭圆型方程。 8－15 关于弯曲切应力公式 /( ) * = FQSz bI z 应用于实心截面的条件，有下列论述，试分析哪一种是正 确的。 （A）细长梁、横截面保持平面； （B）弯曲正应力公式成立，切应力沿截面宽度均匀分布； （C）切应力沿截面宽度均匀分布，横截面保持平面； （D）弹性范围加载，横截面保持平面。 正确答案是 B 。 解：公式 ( ) * = FQ Sz bIz 推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力，该正应力 x 则要求弯曲正应力 公式成立；另外推导时在 Fx = 0 时，应用了 沿截面宽度均匀分布假设。 8－16 试判断梁横截面上的切应力作用线必须沿截面边界切线方向的依据是： （A）横截面保持平面； （B）不发生扭转； （C）切应力公式应用条件； （D）切应力互等定理。 正确答案是 D 。 8－17 槽形截面悬臂梁加载如图示。图中 C 为形心，O 为弯曲中心。并于自由端截面位移有下列结论， 试判断哪一种是正确的。 （A）只有向下的移动，没有转动； （B）只绕点 C 顺时针方向转动； （C）向下移动且绕点 O 逆时针方向转动； （D）向下移动且绕点 O 顺时针方向转动。 正确答案是 D 。 8－18 等边角钢悬臂梁，受力如图所示。关天截面 A 的位移有以下 论述，试分析哪一种是正确的。 （A）下移且绕点 O 转动； （B）下移且绕点 C 转动； （C）下移且绕 z 轴转动； （D）下移且绕 z 轴转动。 正确答案是 D 。 8－19 试判断下列图示的切应力流方向哪一个是正确的。 正确答案是 A 。 习题 8-17 图 习题 8-18 图