第一章复数与复变函数 生命,那是自然付给人类去雕球的宝石。 一诺贝尔 南导学 复变函数就是自变量为复数的函数,本课程研究的主要对象是在某种意 义之下可导的复变函数,通常称为解析函数,为建立这种解析函数的理论基 础,在这一章中,首先引人复数的代数运算及其多种表示法:其次介绍复平面 上的区城以及复变函数的极限与连续性等概念,这些概念及性质与一元或二 元微积分中相应概念及性质在形式上几平完全相同,但本质上却有很大差 别,应当特别给以关注。 每学一个概念、定理,均要与高等数学中相应部分进行对照,尤其要记住 差别.f(:)=(x,y)+1w(红,y)是联系高等数学与复变函数的重要桥梁,全 书许多定理的表述或证明均领得助于(红,y,v(x,y)。 复变函数理论体系的构建,以高等数学为参照系,并借用了其中的结论。 回过头来,对其中的一些棘手的高等数学问题能轻而易举地加以解决例如 用留数计算广义积分等同时,复变函数向应用领城的延伸也是独特的
4 线性代数·复变函致·假率统计习题全解(中册)霸 避第一章复数与复变函数 5* 本章知识结构 1l=arge-acan》 就金 3)8+42=D=仁4tDe-5)-子-13i 2 -2 代数运算 复 Re(e)=-号:im(e)=-132=-子+13i 几何表示 ll=是√9argg=arctan(9)-元 来家与方极 (4)i-4i+i=1-4i+i=1-3i 复数与 复变函数 区域 Re(e)=1:m(:)=-3;2-1十3i:le|=√10, argz =-arctan3 定义 2.当y等于什么实数时,等式+1+二3)=】十i成立? 5+3: 复变函数 骏射 解由+1+-3》=1+i可得 极限 5+3i (x+1)+i(y-3)=2+8 连埃性 因此+1=名=1 时等式成立。 y-3=8(y=11 3.证明度单位有这样的性质:一i=:= 习题全解 证明1==日=-ii 1.求下列复数x的实部与虚部,共轭复数,模与辐角主值。 因此一i=i1= 4.证明; (①3+a 2片-马 (1)|x2=53: (2)1士=1土5: (3)3+4i0(2-5i) (4)3-4i+ 2i (3)15=: 哥=≠0 舞十a=+而=言+(引 3-2i (5)z= Ree)=是m(e)=-最=是+高 (6)Re(e)+).Im()() 1z= 证明(1)由:=x十i,得 V13 :=x2+y 2}-=-i-2-是+(} 2=(x十yi)(x一yi)=x2+y等式成立. 2 Re)=号lm)-是=是+, (2)设1=1十yi,:=2:十yi,则 左式=士=(x1十yi)士(r:十y)
·6. 线性代数·复变函数·解常统计习菇全解(中#)雪 戏第一章复数与复变函数 。7 =(工士2)十(y士为元 7.判定下列命题的直假: =(x1士x2)-(1士y)i (1)若e为实常数,则c=c:(2)若x为纯虚数,则g≠ 右式=士=(x知十士(:十) (3)i<2i: (4)零的辐角是零 =(x1-3i)士(x:-) (5)仅存在一个数,使得}=-: =(x1士x)一(y士y)i 等式成立, (6)+l=ll+:():= (3)设1=1十yi,4=工:十,则 解(1)真命题,因为实数作为复数,其虚部为零,所以若c为实数,则必 2=(2名:-yy2)+(x4十xy月 有2=c。 =(x1x-hy2)-(红:十xyi (2)直命题,若为纯虚数,不妨设x=iy,y≠0,=一iy。由于y≠0, z=(4-3y0(x1-3yi) 所以y≠一iy,即三≠x, =(xx一y1)-(红为十y)i (3)假命题.因为实数集外的复数不能比较大小, 等式成立。 (4)影命题因为复数0的辐角可以是任意的。 (4)设=十y,:=a十y,则 《5)假命题者}=一:设=上十,则 哥-+别-士 t-iv x:十y =x1十)-i(xy一1) (x 十 +y=-工任=0 互=二=色+2)-(二x -y (x2+y=-y y=士1 xi+yi 等式成立。 (5)设:=x+i,则:=x-分是■x+y=: 两个复数,=i=一i,均满足士=一,不止一个. (6)设z=x十,则:=x一 (6)假命题.举反例,令1=1,:=一i,则1+=0,而1|+: =2,此时1+2l≠|+l. 是G+)=c-t+十0==Re(e) |1+2=11|+:不恒成立 +=y=mm(e) (7)真命题。正明:设g=x十y,则 I-iy 5.对任问z,=|:”是香成立?如果是,就给出证明,如果不是,对娜些 之值才成立? 十g=-证-iu-0-y-u 答不成立,例如=i,z2=2=一1,而z2=i=1,22≠, E=x+y)=-y+正=-y-ix 只有*为实数时,等式=才成立。 6.当:≤1时,求x十a的最大值,其中”为正整数a为复数。 解z”+a|≤le|+la≤1十la故1+【a|为所求, 8.将下列复数化为三角表示式和指数表示式:
*8 钱性代数·复变函数·慨率统计习题全解(中册)物 壶第一章复数与复变函数 ·9 (1)i (2)-1 (2)旋转公式: x=zicosa-yisina (3)1+i√3: y=x1sina十y cosa (4)1-cos弹十isin9(0≤9r) 设 g=x+yi,xt=x:十yi 6-+ (6)(cos5+isin5p): (cos3p-isin3)i 则 =(zcosa-yisina)+i(sina +y cosa) 解)因为r=川-1,g)=受,所以 =cosa(x1十iy)十(-y十ix)sina =(cosa)z+i(sina)z1 ⅰ的三角形式为 i=co受+n受 =(cosa +isina) ie =z1e" i的指数形式为 10.一个复数乘以一i,它的模与辎角有何改变? (2)由r=|-1|=1,arg(-1)=x,知 一】=cost十isin 答设复数为2=”,则(-)z=e于.心=心)因此,模不变, -1=e 辐角减小受· 3)因为r=√P+(3=2arg1+i√了)=若所以 11.证明:1十2P+1-:2■2(2+|2:)并说明其几何意 义 1+i√=2 证明左=(1+)(⊙1+红)+(,-)(21一 1+i√3=2cos5+iin行》 =(a1+2)(1+)+(a1-2)1-) (4)1一cos9+ising(0≤g≤r) =|31F+z1十221十l✉+32-z4- 31+1z:2 =2sn[co(受-)+sm受-号)]2sin号et =2(32+|)=右 6)-=[o-引+n-)]-2e-和 几何意义:平行四边形两条对角线的平方和等于平行四边形相邻两边平 (6)os59+isin52: (es): 方和的两倍。 (cos3-isin3p)e-cos19p+isin19g 12.证明下列问题: 9.将下列坐标变换公式写成复数的形式: ①任何有理分式函数尽e)=号可以化为X+Y的形式,其中X与 (1)平移公式: x=x1十a Y为具有实系数的x与y的有理分式函数: y=+6 (2)旋转公式: |z■z1cosa-y.sina (2)如果R(:)为(1)中的有理分式函数,但具有实系数,那么R()= X-iY: y=zising十yicosa (3)如果复数4十b是实系数方程 解(1)平移公式: x=x1十a1 y=h+6 ae2+a1z1+…+a-2+a.=0 2=x+i=(x+a)+(y1+6)i 的根,那么a一访也是它的根。 =(x:+y)+(@+b,i)=1+A(其中A=a1+i6,) 证明(1)令x=r(cosx+isint)
,10· 线性代数·复变函数·概半统计习题全解(中普)命 念第一章复数与复变函数 ·11· P(e)=au+ael+…+a, 14求下列各式的值: Q(e)=bx”+b-1+…+b.(a,b∈R) (1)(/3-',2)1+i(3)1:4)a-)n 则 m-8器-89架 1QG) 解a(万-'={2[co-}+m(-] 而P(e)Q(a▣C+Ce1+…+C.+C++…+C+ =C/(cosr+isinnz)+…+ =×要-引 C..[cos(-mr)+isin(-m)] =-16√/3-16i =[C,cou+…+C4-cos(-mr)门+ [Cr'sinnz+…+C户in(-mx3 2)a+-[反o受+m)]-co+m2到 =一8脏 令 X-Q()pi[Crcosr++C.."cos(-mx)] (3)/一1=(cosx+isin元)t Y-jQ(e)[Csinnz++C."sin(-)] 0=6os1+25+im+2k=0,1.2,34.5 则 R(:)=X+省 (2)RG)-P-PGQ 县+,,-9+ QG) 1QG) 由上面所证,类似可得 8器-X- w=-要-含-。两-经- (3)令R(e)=a+a11+…+a-2+a wa-对=[©-+m-] 设当:=a+b时,R(e)■0→R(a可=0=0 k=0,1,2 已知au@1…a为实数,于是 3 R()=aay+…十a+a=0 w=z(co-)+m-引}=o音-n) 因此:=a一话也是它的根。 13.如果x=,证明: 西=(o+n到 1)r+=20st, a)r-是=2ine w=(o提+sn到=zcos+n 证明由x■e→cost+isint 15.若(1+i=(1-,试求s的值。 (r+}=(cost+ine)+cost十n 1 解由(1+)”=(1-i少”,可得 =cosnt+isinnt十cost一isinnt=2 cosnt 2co算+sim}-2os受+sm-到 (2)r-÷-(cost+)-cost十n n受=m受=-警+2om=秋 4 =cost+isinnt一cost十isin=2 isinnt (k=0,±1,±2…)