多连域中复势的一般形式 函数，()和（已）在多连通域中可能是多值的。而应力 和位移总是单值的。如何选择这些复变函数，保证应力 和位移的单值性？考察如图3-2所示多连通体，先考虑仅 有一个内边界S和一个外边界S叶1的情形。 1应力单值条件 由式(3-8)o,+ox=4Re0(z)知，p(2)的实部单值。虚部 可多值。绕k一周，虚数增量为2πA 考察Akn亿-，其中2k是边界Sk之外的任意一点。 A In(=-)=A In(l=-zle)=A In-z+Aie 一周后，右边有增量2πi4。令 i(=)=4 In(=-z)+i(=) X△A人WMww
多连域中复势的一般形式 1 ( )z 1 函数 和 ( )z 在多连通域中可能是多值的。而应力 和位移总是单值的。如何选择这些复变函数，保证应力 和位移的单值性？考察如图3-2所示多连通体，先考虑仅 有一个内边界s k和一个外边界sm+1的情形。 1 应力单值条件 k s 一周，虚数增量为 由式(3-8) 1 4Re ( ) y x + = z 知， 1 ( )z 的实部单值。虚部 可多值。绕 考察Ak ln (z-zk )，其中zk是边界sk之外的任意一点。 ln( ) ln | | ln ( ) i A z z A z z e A z z A i k k k k k k k − = − = − + 绕sk一周后，右边有增量 2 k iA 。令 1 1* ( ) ln ( ) z A z z z = − + k k ( ) (1) 2 Aik
式中（全纯。 积分，得 g(a)=A[(e-)ln(z-2)-(e-】+∫广(e)d+常数 (2) 20为弹性体内的任选定点，如图3-2所 示。Jp.(2)业=cln(z-)+全纯函数。 代入式(2)，并将-Akln(亿-与 -a Ckln亿-合并写成Yklh(z-),即得 9(2)=Azln(z-2k) 052 +rIn(z-zk)+(), (3) 0 中p()全纯。Yk为复常数。 小wXN图320小NM
积分，得 x y 1 z 0 z 2 z k z m z 1 s 2 s k s m s N m 1 s + 图3-2 o z0为弹性体内的任选定点，如图3-2所 示。 * 0 1 ( )d ln( ) z k k z z z c z z = − +全纯函数。 代入式(2)，并将-Ak zk ln (z-zk )与 ck ln(z-zk )合并写成 ln( ) k k z z − ，即得 其中 1* ( )z 全纯。 k 为复常数。 1 1 ( ) ln( ) ln( ) ( ), k k k k z A z z z z z z = − + − + (3) 0 1 1* ( ) ( )ln( ) ( ) ( )d z k k k k z z A z z z z z z z z = − − − − + + 常数. (2) 式中 ( ) 全纯。 ' 1* z
又由式(3-9)-0+2irw=2[0(z)+(】可知，函数(z)在多 连域全纯。类似地 Ψ，(z)=Ykln(z-2k)+必*(z) (4) 为复常数，(2)全纯。 2位移单值条件 位移单值对，(e)及)的要求。将3.2.1中的(1)、(3)、(4) 三式代入式(3-10)有 E I-V +m三pe-o-W间 u+间-4：h:-动+：-+风.间 -4 In(-z)+()-yIn(-z)+Vu() L4X004
k 为复常数， ( ) 1 z 全纯。 又由式(3-9) 2 y x xy − + = i 2 ( ) ( ) z z z 1 1 + 可知，函数 1 ( )z 在多 连域全纯。类似地 2 位移单值条件 位移单值对 1 ( )z 1 及 ( )z 的要求。将3.2.1中的(1)、(3)、(4) 三式代入式(3-10)有 ' 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 E u iv z z z z − + = − − − + 1 3 ( ) ln( ) ln( ) ( ) 1 1 k k k k k E u iv A z z z z z z − + = − + − + − + ' ' 1 1 ln( ) ( ) ln( ) ( ) k k k k k − − + − − + z A z z z z z z 1 1* ( ) ln( ) ( ) k k z z z z = − + (4)
当z绕Sk一周后，增量为： 02ai+2aJ+2e-2m或-2-4+1网 令增量为零，即 4=0,且+以=0 (5) 3有限多连域的复势 确定应力函数(3)和(4)式中的复常数k及，需将式(3-11) 应用于整个内边界S,积分一周得， [9(e)+z9(a+4(回可=i(.+） (6) 是S上面力主矢量。z沿S绕行的方向必须是顺时针 XNi以Mg
当z绕sk一周后，增量为： 3 ' (2 2 ) 2 2 1 k k k k iA z i izA i − + + + + 3 3 2 1 1 1 k k k i A z − − = + + + + + 令增量为零，即 3 有限多连域的复势 确定应力函数(3)和(4)式中的复常数 k k 及 ,需将式(3-11) 应用于整个内边界sk ,积分一周得, k k F iF x y + 是sk上面力主矢量。z沿sk绕行的方向必须是顺时针 Ak = 0 , 且 3 0 1 k k − + = + (5) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k x y s z z z z i F iF + + = + (6)
转向（使外法线向右），将式(1)，(3)，(4)代入式(6)得 -2i:-)=(F+识） (7) 由式(5)及式(7)求得 A-0k+小发-E) 将它们代入式(3)及式(4)，得 ae=若2K+iea以 (3-13) 问a民--动e 式中p(2)、4.(z在多连域全纯 (X△Ni4w心gW
转向（使外法线向右），将式(1),(3),(4)代入式(6)得 由式(5)及式(7)求得 ( ) ( ) 1 3 0, , 8 8 k k k A F iF F iF k k x yk k x y + − = = − + = − 将它们代入式(3)及式(4)，得 2 ( ) ( ) k k k k x y − − = + i i F iF (7) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ln ( ), 8 3 ( ) ln ( ). 8 k k k k m x y k k m x y k k z F iF z z z z F iF z z z = = + = − + − + − = − − + (3-13) 式中 1* (z) 、 1* (z)在多连域全纯