第二章解析函数 解析函数是复变函数研究的主要对象 1介绍复变函数导数概念和求导法则 2讲解解析函数的概念及其判别法，阐明 解析与可导的关系 3介绍一些常用的初等函数，说明它们的 解析性
第二章 解析函数 解析函数是复变函数研究的主要对象 1 介绍复变函数导数概念和求导法则 2 讲解解析函数的概念及其判别法，阐明 解析与可导的关系 3 介绍一些常用的初等函数，说明它们的 解析性
§2.1解析函数的概念 复变品敖的导敖 1号款的定义 定义1设函数ω=f(z)在开区域D内有定义 。∈D,2=2+△c是D内任一点，令 △0=f(z+△2)-f(20) 如果 lim lim △0 f(3+A)-f(3o) 存在，记作A △z→0 △z △z-→0 △z 称f(z)在 处可导，A为f(z)在。 处的导数 记作：f'()或 dz 2-20
§2.1 解析函数的概念 一、复变函数的导数 1导数的定义 设函数 = f z( ) 在开区域D内有定义 0 z z z = + 是D内任一点，令 0 0 = + − f z z f z ( ) ( ) 如果 ( 0 0 ) ( ) 0 0 lim lim z z f z z f z z z → → + − = f z( ) 在 0 z 处可导，A 为 f z( ) 在 0 z 处的导数 f z ( 0 )或 0 z z d dz = 0 z D , 定义1 存在，记作A 称 记作：
即 f'(zo)=lim f(20+A)-f(zo) (2.1) △z 或写成微分形式 A0=f'(o)A+o(A）(A→0) (2.2) 故也称f(z)在z处可微。 f(3o)=∫'(2o)△为f(z)在z处的微分 如果f()在区域D内处处可导（可微）， 则称f(z)在D内可导（可微）
即 (2.1) 或写成微分形式 = + → f z z o z z ( 0 ) ( ) ( 0) ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) lim z f z z f z f z z → + − = (2.2) df z f z z ( 0 0 ) = ( ) ( ) 0 为f z z 在 处的微分 故也称 ( ) 0 f z z 在 处可微。 则称 如果 f z( ) 在区域D内处处可导（可微）， f z( ) 在D内可导（可微）
米 例1求函数f(e)=(n为正整数)的导数。 解因为 lim f(z+)-f(z) △z→0 △z (z+△z)”-z” lim △z→0 △z lim △z→0 ] 21 n-1 所以 f(z)=nz"-1
例1 n 求函数 f (z) = z （ n 为正整数）的导数。 解 因为 ( ) ( ) 0 lim z f z z f z z → + − ( ) 0 lim n n z z z z z → + − = ( ) 1 2 0 1 lim 2 ! n n z n n nz z z − − → − = + + n 1 nz − = 所以 ( ) n 1 f z nz − =
米 例2证明f(z)=Rez在全平面处处不可导。 证明因为对任意一点 f(2)-f(o) Rez-Rezo Re(z-Zo) z-20 z-20 z-20 分别考虑直线Rez=Rez及直线Imz=Imo 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线 上，上式恒等于1。故当z→时，上式没 有极限，即f(z)在2处没有导数。由于。 的任意性，(2)在全平面处处没有导数
例2 证明 f z z ( ) Re = 在全平面处处不可导。 证明 0 因为对任意一点 z ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f z f z z z Re Re z z Re z z z z z z − − − = = − − − 分别考虑直线 Re Re 0 z z = 及直线 0 Im Im z z = 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线 上，上式恒等于1。 0 故当 z z → 时，上式没 有极限，即 f z( ) 0 在 z 处没有导数。由于 0 z 的任意性，f z( ) 在全平面处处没有导数